Integrasi dari $2$-bentuk pada bola menggunakan proyeksi stereografik
Membiarkan$\omega$jadilah$2$membentuk$\omega = x \, dy \wedge dz - y \, dx \wedge dz + z \, dx \wedge dy$pada$S^2$. Saya ingin mengintegrasikan$\int_{S^2} \omega$menggunakan definisi, dengan proyeksi stereografik${\varphi}^{- 1} : {\mathbb{R}}^2 \to S^2 \setminus \{(0 , 0 , 1)\}$diberikan oleh$$ {\varphi}^{- 1}(u , v) = \left(x = \frac{2 u}{1 + u^2 + v^2} , y = \frac{2 v}{1 + u^2 + v^2} , z = \frac{u^2 + v^2 - 1}{1 + u^2 + v^2}\right). $$Kemudian$$ \int_{S^2} \omega = \int_{{\mathbb{R}}^2} {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega). $$Saya melanjutkan untuk menghitung${({\varphi}^{- 1})}^*(\omega)$. Dia$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) + z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy). $$Misalnya,$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) = \frac{\partial x}{\partial u} \, du + \frac{\partial x}{\partial v} \, dv = \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$dan sama$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - \frac{4 u v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{2 (1 + u^2 + v^2) - 4 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv $$dan$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = 4 \left(\frac{u}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, du + \frac{v}{{(1 + u^2 + v^2)}^2} \, dv\right). $$Kami menghitung sekarang produk eksterior:$$ x {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 u^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ - y {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dz) = - \frac{16 v^2}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv, $$ $$ z {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dx) \wedge {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(dy) = - 4 \frac{{(u^2 + v^2)}^2 - 2 (u^2 + v^2) + 1}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} \, du \wedge dv. $$Karena itu$$ {\left({\varphi}^{- 1}\right)}^*(\omega) = \frac{4}{{(1 + u^2 + v^2)}^4} (- 2 u^2 - 2 v^2 - 1 - u^4 - 2 u^2 v^2 - v^4) \, du \wedge dv $$jika saya tidak memiliki kesalahan apapun. Tapi bagaimana saya bisa melanjutkan dengan ekspresi ini? Di sisi lain, saya tahu bahwa integralnya seharusnya$4 \pi$.
Jawaban
Hasil Anda sejauh ini sebenarnya semuanya benar. Untuk melanjutkan, Anda hanya perlu sedikit kurang bersemangat dalam memperluas semua ekspresi, tetapi pilihlah untuk memfaktorkan lebih banyak. Secara khusus, hasil untuk$(\phi^{-1})^* (z\, dx\wedge dy)$dapat difaktorkan. Pembilangnya sebenarnya adil$4(u^2+v^2-1)^2$. Saat Anda menjumlahkan mundurnya dua istilah lainnya, Anda menambahkan$16(u^2+v^2)$ke pembilang. Dengan demikian Anda mendapatkan$4(u^2+v^2+1)^2$, yang membatalkan rapi dengan penyebut.
Atau, jika Anda cukup akrab dengan perluasan$(x+y+z)^2$, Anda dapat langsung mengenali bahwa pembilang dari hasil akhir Anda adalah$4(u^2+v^2+1)^2$.
Untuk melanjutkan integral, Anda dapat mengubah integral tersebut menjadi koordinat polar dalam$uv$-plane, atau lakukan dengan substitusi trigonometri. Metode sebelumnya lebih mudah sejauh ini.