Integrasi Torsi untuk Loop Arus Sirkular dalam Medan Magnet [tertutup]

Question

Saya mencoba untuk mendapatkan rumus Torsi pada loop arus melingkar di dalam medan magnet. Saya tahu rumusnya adalah:

$\tau = IAB\sin{\theta}$

Di mana I adalah arus, B adalah medan magnet dan A adalah Area.

Upaya saya sejauh ini:

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

Nah, jika rumus Torsi adalah: $\tau=bF\sin{\theta}$, dan $b = r\sin{\alpha}$, kemudian

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

Pada akhirnya, jika saya mengambil integral dari persamaan terakhir ini, saya tidak dapat benar-benar memahami bagaimana mengintegrasikannya $\sin{\alpha}^2\,ds$.

Saya rasa kesalahpahaman saya terletak di sini: Saya tahu apa yang tidak terpisahkan $d\vec{s}\times \vec{B}$akan, karena saya tahu diameter lingkaran. Namun, saya pikir tidak ada cara untuk mengungkapkannya$\sin{\alpha}$ dengan hormat $ds$.

Apakah saya salah paham? Terima kasih

Answer 1

Anda tidak menggunakan notasi vektor sehingga tampaknya cukup buruk. Juga, Anda telah menggunakan$M$ untuk torsi (seharusnya $\tau$) daripada untuk momen magnet (yang merupakan simbol yang diterima secara umum).

Bukti:

Lingkaran melingkar terletak di $x-y$ pesawat dengan raduis $r$ dan berpusat pada asal $O$. Itu membawa arus konstan dalam arah berlawanan arah jarum jam. Ada medan magnet yang seragam$\vec B$ diarahkan secara positif $x$-sumbu.

Pertimbangkan sebuah elemen $d\vec s$ di atas ring secara miring $\theta$ mengubah sudut $d\theta$di asalnya. Torsi pada elemen ini diberikan oleh

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$

---

Catatan: Saya telah melewatkan bagian perhitungan. Selain itu, Anda juga bisa mengambil$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, Saya telah mengambil saja $x$-komponen untuk kesederhanaan. Hasilnya akan sama. Sama halnya dengan bentuk konduktor, tidak masalah apakah persegi atau lingkaran.

Answer 2

Saya menyelesaikan ini dengan menyadari bahwa ds sebenarnya $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ dengan rumus akord panjang.

Singkatnya, dengan benar-benar menulis $d\vec{s}\times \vec{B}$ dengan kondisi $\alpha$.