Jika $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, bagaimana max { $f$, $g$} ditentukan?

Aug 20 2020

Saat ini saya membaca buku teks tentang ruang metrik dan menemukan terminologi berikut untuk dua fungsi yang sepertinya tidak dapat saya temukan di mana pun bagaimana ia didefinisikan.

Membiarkan $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, bagaimana max {$f$,$g$} ditentukan? begitu pula, bagaimana min {$f,g$} ditentukan?

Saya sedang berpikir untuk max {$f$,$g$}: ini berarti mengambil nilai maksimum $f$ dan $g$dan max {$f$,$g$} terdiri dari semua nilai itu. Demikian pula untuk mengambil nilai minimum$f$ dan $g$dan min {$f,g$} terdiri dari semua nilai itu.

Motivasinya adalah, saya menemukan masalah yang ditanyakan: mengingat dua metrik $d_1$ dan $d_2$ (untuk $(X_1,d_1)$ dan $(X_2,d_2)$masing-masing) adalah maks {$d_1$,$d_2$} metrik pada $X_1 \times X_2$? Namun, untuk mulai menjawab pertanyaan ini, saya perlu mendefinisikan terminologi yang tidak saya kenal.

Jawaban

3 VictorHugo Aug 20 2020 at 20:53

Untuk setiap tetap $x$, $\max\{f(x),g(x)\}$ adalah bilangan terbesar di antara dua bilangan real $f(x)$ dan $g(x)$. Mendefinisikan$\varphi(x)=\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ adalah mungkin untuk membuktikannya $ \varphi(x)=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]$.

2 EricTowers Aug 20 2020 at 20:54

Ini mengikuti pola biasa untuk aritmatika fungsi .

  • $f+g$ adalah fungsinya $x \mapsto f(x) + g(x)$.
  • $f-g$ adalah fungsinya $x \mapsto f(x) - g(x)$.
  • $f\cdot g$ adalah fungsinya $x \mapsto f(x) \cdot g(x)$.
  • $f/g$ adalah fungsinya $x \mapsto f(x) / g(x)$.
  • $\max\{f,g\}$ adalah fungsinya $x \mapsto \max \{f(x), g(x)\}$.

Artinya, ekspresi fungsi mengikat semua slot variabel domain ke satu slot domain.

1 Cornman Aug 20 2020 at 20:55

Ini didefinisikan seperti yang diharapkan. Ingatlah bahwa Anda memiliki fungsi$f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$

Saat Anda mengevaluasi kedua fungsi di $x$Anda mendapatkan bilangan real. Jadi Anda bisa mengambil$\max\{f(x),g(x)\}$, dan tidak ada definisi khusus yang diperlukan, karena semuanya terjadi di real, dan saya yakin Anda telah mendefinisikan secara maksimal.

Ingat juga itu $\max(x,y)=\min(-x,-y)$, jadi Anda tidak membutuhkan definisi kedua.

Dan maksimal dua real didefinisikan sebagai:

$\max(x,y)=\begin{cases}x,~\text{if}\quad y\leq x\\ y~~~\text{else}\end{cases}$

1 user798202 Aug 20 2020 at 21:15

Seperti yang ditunjukkan oleh banyak jawaban lain, $\max\{f,g\}$didefinisikan secara pointwise .

Untuk masalah yang memotivasi Anda, temukan jawaban dari pertanyaan ini: Maksimum dua metrik adalah satu metrik

АлександрПальма Aug 20 2020 at 20:56

Diberikan dua fungsi $f,g: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, kita bisa tentukan maksimal $\max(f,g):X\to \mathbb{R}$ oleh $$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x)),$$dan jumlah minimum mereka $\min(f,g)(x):X\to \mathbb{R}$ oleh $$\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x)).$$