Jika $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, bagaimana max { $f$, $g$} ditentukan?
Saat ini saya membaca buku teks tentang ruang metrik dan menemukan terminologi berikut untuk dua fungsi yang sepertinya tidak dapat saya temukan di mana pun bagaimana ia didefinisikan.
Membiarkan $f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, bagaimana max {$f$,$g$} ditentukan? begitu pula, bagaimana min {$f,g$} ditentukan?
Saya sedang berpikir untuk max {$f$,$g$}: ini berarti mengambil nilai maksimum $f$ dan $g$dan max {$f$,$g$} terdiri dari semua nilai itu. Demikian pula untuk mengambil nilai minimum$f$ dan $g$dan min {$f,g$} terdiri dari semua nilai itu.
Motivasinya adalah, saya menemukan masalah yang ditanyakan: mengingat dua metrik $d_1$ dan $d_2$ (untuk $(X_1,d_1)$ dan $(X_2,d_2)$masing-masing) adalah maks {$d_1$,$d_2$} metrik pada $X_1 \times X_2$? Namun, untuk mulai menjawab pertanyaan ini, saya perlu mendefinisikan terminologi yang tidak saya kenal.
Jawaban
Untuk setiap tetap $x$, $\max\{f(x),g(x)\}$ adalah bilangan terbesar di antara dua bilangan real $f(x)$ dan $g(x)$. Mendefinisikan$\varphi(x)=\max\{f,g\}(x)=\max\{f(x),g(x)\}$ adalah mungkin untuk membuktikannya $ \varphi(x)=\frac{1}{2}[f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|]$.
Ini mengikuti pola biasa untuk aritmatika fungsi .
- $f+g$ adalah fungsinya $x \mapsto f(x) + g(x)$.
- $f-g$ adalah fungsinya $x \mapsto f(x) - g(x)$.
- $f\cdot g$ adalah fungsinya $x \mapsto f(x) \cdot g(x)$.
- $f/g$ adalah fungsinya $x \mapsto f(x) / g(x)$.
- $\max\{f,g\}$ adalah fungsinya $x \mapsto \max \{f(x), g(x)\}$.
Artinya, ekspresi fungsi mengikat semua slot variabel domain ke satu slot domain.
Ini didefinisikan seperti yang diharapkan. Ingatlah bahwa Anda memiliki fungsi$f,g: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$
Saat Anda mengevaluasi kedua fungsi di $x$Anda mendapatkan bilangan real. Jadi Anda bisa mengambil$\max\{f(x),g(x)\}$, dan tidak ada definisi khusus yang diperlukan, karena semuanya terjadi di real, dan saya yakin Anda telah mendefinisikan secara maksimal.
Ingat juga itu $\max(x,y)=\min(-x,-y)$, jadi Anda tidak membutuhkan definisi kedua.
Dan maksimal dua real didefinisikan sebagai:
$\max(x,y)=\begin{cases}x,~\text{if}\quad y\leq x\\ y~~~\text{else}\end{cases}$
Seperti yang ditunjukkan oleh banyak jawaban lain, $\max\{f,g\}$didefinisikan secara pointwise .
Untuk masalah yang memotivasi Anda, temukan jawaban dari pertanyaan ini: Maksimum dua metrik adalah satu metrik
Diberikan dua fungsi $f,g: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, kita bisa tentukan maksimal $\max(f,g):X\to \mathbb{R}$ oleh $$\max(f,g)(x):=\max(f(x),g(x)),$$dan jumlah minimum mereka $\min(f,g)(x):X\to \mathbb{R}$ oleh $$\min(f,g)(x):=\min(f(x),g(x)).$$