Jika $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ berkelanjutan dan menyatu $f$ secara tepat, harus $f$menjadi Riemann Integrable? [duplikat]

Question

Saya mencoba untuk menjawab pertanyaan berikut

Benar atau salah? Jika$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ adalah urutan fungsi kontinu yang menyatu $f$ dengan tepat, lalu $f$ adalah terintegrasi Riemann dan $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

Dengan bantuan dari komentar saya menemukan counterexample ini , tapi saya berharap ada yang lebih sederhana.

Jika kita mengganti integral Riemann dengan integral Lebesgue, maka hasilnya benar dengan Teorema Konvergensi yang Didominasi. Ini menyiratkan bahwa jika$f$ adalah Riemann Integrable, maka memang $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Jadi dalam mencari counterexample, kita harus mencoba mencari di mana $f$ bukanlah Integrasi Riemann.

Terima kasih banyak atas semua bantuan.

Answer 1

Counterexample klasik adalah sebagai berikut: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Membiarkan$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (yang ada karena itu adalah batas dari urutan penurunan positif), maka keduanya ada $n_0$ seperti yang $f_{n_0}$ bukanlah Riemann-integrable yang membentuk contoh berlawanan karena $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ adalah Integrasi Riemann untuk semua $m$, baik itu $f_n$ semuanya dapat diintegrasikan dengan Riemann, tetapi sejak itu $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ bukan Riemann-integrable dan $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, maka ini adalah contoh balasan.