Jika $p$ adalah bilangan prima ganjil dan $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, kemudian $\alpha^2$ bukan modulo root primitif $p$.

Aug 16 2020

Buktikan benar atau berikan contoh balasan jika salah.

Jika $p$ adalah bilangan prima ganjil dan $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, kemudian $\alpha^2$ bukan modulo root primitif $p$.

Saya mencoba membuktikannya, tetapi saya tidak yakin harus mulai dari mana. Saya sedang berpikir untuk menggunakan Teorema Kecil Fermat: jika$p$ adalah bilangan prima dan $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, kemudian $\alpha^{(p-1)}=1$ tapi bagaimana seseorang melakukan lompatan dari FLT ke akar primitif? Akar primitif didefinisikan sebagai elemen$\gamma=\phi(m)$ tapi bagaimana hal itu terkait dengan masalah ini?

Jawaban

2 Yesit'sme Aug 16 2020 at 11:42

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$. Langkah terakhir mengikuti dari FLT.

Karenanya, urutan $a^2$ mod $p$ paling banyak $\frac{p-1}{2}$, jadi tidak bisa menjadi root primitif menurut definisi.