Jika seorang analitik $f$ memenuhi salah satu dari dua kondisi ini, maka ia konstan

Question

Saya mencoba pertanyaan tugas dari sebuah institut tempat saya tidak belajar. Saya terpukul pada 2 ini.

1. Jika $f$ adalah fungsi yang dapat dibedakan dari suatu daerah $X$ di $\mathbb{C}$ ke $\mathbb{R}$ buktikan itu $f$ selalu konstan.

2. Jika $f$ dan $\bar {f}$ keduanya analitik di suatu wilayah $X$ menunjukkan bahwa mereka konstan di wilayah $X$.

Upaya:

1. Wilayah selalu terbuka. Jadi, kisaran$f$ harus terbuka (teorema pemetaan terbuka) tetapi $\mathbb{R}$ tidak terbuka $\mathbb{C}$ bahkan jika itu tunggal sebagai pelengkap $\{x\}$tidak ditutup. Jadi, saya bingung bagaimana saya bisa membuktikan pernyataan tersebut.

2. Untuk 2 saya tidak punya apa-apa untuk ditampilkan karena saya benar-benar bingung harus menggunakan hasil mana $\bar{f}$ dalam pertanyaan.

Mohon bantuannya.

Answer 1

Bukti Anda untuk 1) benar. Untuk 2), jika keduanya$f$ dan $\bar{f}$ bersifat holomorfik (dapat dibedakan), demikian pula halnya $\mathrm{Re}(f)$ dan $\mathrm{Im}(f)$, namun jangkauan mereka ada $\Bbb{R}$. Dengan apa yang Anda buktikan di 1), keduanya harus konstan, karenanya$f$ konstan.