Jika $\widehat{M}$ adalah gratis $\widehat{R}$-modul pangkat $n$ kemudian $M$ memiliki satu set pembangkit $n$ elemen sebagai $R$-modul.
Dengan mengacu pada pertanyaan terakhir saya Jika$\widehat{M}$ adalah gratis $\widehat{R}$-module, lalu $M$ adalah gratis $R$-modul, $R$adalah cincin Zariski. Saya ingin menanyakan pertanyaan berikut.
Membiarkan $R$ menjadi cincin Zariski dengan $I$topologi -adic, $I \subset J(R)$. Membiarkan$M$ jadilah yang dihasilkan tanpa batas $R$-modul sedemikian rupa sehingga $I$penyelesaian -adic $\widehat{M}$ adalah gratis $\widehat{R}$-modul pangkat $n$. Lalu bagaimana saya bisa menunjukkan itu$M$ memiliki satu set pembangkit $n$ elemen sebagai $R$-modul.
Saya butuh bantuan.
Jawaban
Mempertimbangkan $n$ generator dari $\widehat M$, $x_1,...,x_n$.
Membiarkan $y_1,...,y_n$ menunjukkan gambar mereka dalam $M/IM$. Kemudian,$y_1,...,y_n$ menghasilkan $M/IM$.
Memang, $\widehat M\to M/IM$ bersifat dugaan ($M\to \widehat M\to M/IM$ bersifat dugaan), jadi jika $z\in M/IM$, biarkan $w$ menjadi anteseden apapun, $w= \sum_i \lambda_i x_i$ menyiratkan itu $z =\sum_i \mu_i y_i$, dengan $\mu_i$ gambar $\lambda_i$ dibawah $\widehat R\to R/I$.
Tapi sekarang sejak itu $I\subset J(R)$, Lemma Nakayama memberi tahu Anda bahwa anteseden apa pun dari $y_1,...,y_n$ menghasilkan $M$ (di sini, gunakan asumsi itu $M$ dihasilkan dengan sempurna)