Jumlah kotak di antara dua bilangan asli

Question

Diberikan bilangan asli $m>n\in \mathbb{N}$ berapa banyak kotak di antaranya $m$ dan $n$? yaitu, berapa banyak bilangan asli$k\in \mathbb{N}$ memuaskan itu $n \leq k^2\leq m$?

Saya pikir jika kita mengetahui persegi terbesar $k^2=s\leq m$ dan persegi terkecil $\tilde k^2=\tilde{s}\geq n$, maka jumlah kotak yang saya cari adalah $k-\tilde{k}+1$, tetapi apakah ada cara sederhana untuk menemukan kotak ini? Saya akan baik-baik saja dengan batasan yang merupakan fungsi dari ukuran$m-n$.

Answer 1

Jumlah kotak di antara dua bilangan asli $m$ dan $n$ = $\begin{align} \lfloor \sqrt{m} \rfloor - \lceil \sqrt{n} \rceil + 1\end{align}$.

Bukti: Biarkan$\begin{equation} n \leq a^2 \leq k^2 \leq (a+s)^2 \leq m \end{equation}$ dimana $a$ adalah bilangan asli terkecil yang kuadratnya lebih besar dari atau sama dengan $n$ dan $a+s$ adalah bilangan asli terbesar yang kuadratnya kurang dari atau sama dengan m.

Sekarang, dari pengamatan sederhana, $\begin{equation} a = \lceil \sqrt{n} \rceil \end{equation}$ dan $\begin{equation} a+s = \lfloor \sqrt{m} \rfloor \end{equation}$ dan jumlah kotak di antara dua bilangan asli adalah $s+1$.