Kapan komposisi peta linier merupakan isomorfisme

Question

Membiarkan $T:V\rightarrow W$ dan $L:W\rightarrow U$ menjadi peta linier antara dimensi hingga $\mathbb{R}$ruang -vektor. Saya penasaran ingin tahu kapan$L\circ T:V\rightarrow U$ adalah isomorfisme.

Hipotesis saya adalah itu $L\circ T$ adalah isomorfisme jika dan hanya jika $Ker(L)^{\perp} = Im(T)$. (Dengan ini yang saya maksud$Im(L) \cap Ker(L)={0}$).

Inilah yang saya dapatkan sejauh ini, dengan posting ini kita tahu itu$L$ harus suntik dan (berdebat dua kali) kami menemukan itu $T$harus surjective. Jadi, menerapkan lemma pemisahan : kami menulis$W\cong V\oplus U$. Sejak$T$ kemudian injeksi dan linier $V\cong Im(T)$. Sekarang, sejak$L$ adalah dugaan maka jika $Im(T)$ berpotongan $\ker(L)$ non-sepele (yaitu lebih dari sekedar pada $0$) kemudian $Im(L)$ memiliki dimensi yang lebih rendah dari $U$; dimana itu tidak bisa diduga. Karena itu,$Im(T)\cap \ker(L)={0}$. Arah sebaliknya jelas.

Akankah argumen saya juga berlaku jika $L\circ T$ apakah hanya suntik?

Answer 1

Lemma pemisahan tidak berlaku dalam situasi ini. Juga untuk$L \circ T$ menjadi bijective $L$ harus surjective dan $T$ suntik.

Pernyataan berikut ini benar untuk semua komposisi peta. $L \circ T$ bersifat subjektif iff $T$ bersifat suntik dan $L|_{im T} $bersifat bijektiva. Saat melihat peta linier, ini diterjemahkan menjadi:

$L \circ T$ bersifat subjektif iff $T$ bersifat suntik, $L$ surjective dan $im(T) \cap ker(L) = {0}$