Kebalikan kanan jika dan hanya jika ke

Aug 16 2020

Saya mencoba membuktikan hasil berikut.

Buktikan itu $f: X \to Y$adalah jika dan hanya jika memiliki invers kanan. Kemudian buktikan bahwa invers ini tidak selalu unik (yaitu, kapan$f$ tidak suntik).

Inilah yang saya temukan, meskipun secara khusus, "bukti" saya tentang kurangnya keunikan tidak terlalu ketat.

Bukti. Seharusnya$f: X \to Y$bersifat dugaan. Membiarkan$y \in Y$, jadi ada $x \in X$ seperti yang $f(x) = y$. Padahal ini$x$ mungkin tidak unik, kami mendefinisikan pemetaan $g: Y \to X$ dengan aturan $g(y) = x$, menggunakan Aksioma Pilihan. Untuk semua itu$y$ dengan properti itu $g(y) = x$, kita punya: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ begitu $f \circ g = i_Y$, dan $g$adalah kebalikan kanan. Sebaliknya, misalkan$f$ memiliki kebalikan kanan, $g: Y \to X$ dengan properti itu $f \circ g = i_Y$. Membiarkan$y \in Y$. Kemudian$g(y) = x$ untuk beberapa $x \in X$. Kemudian, kami mengamati itu$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ begitu $f$bersifat dugaan. Pembalikan kanan ini tidak unik karena kita perlu menggunakan Aksioma Pilihan untuk mendefinisikan$g(y) = x$ untuk beberapa $x$. Dalam kasus dimana$f$ tidak suntik, diberikan apapun $y \in Y $, ada banyak yang berpotensi tak terhingga $x$ seperti yang $f(x) = y$, dan kami bisa mendefinisikan $g(y)$ untuk menyamai salah satu dari x tersebut, yang masing-masing akan memberikan invers kanan yang sama validnya.

Bagaimana bukti ini terlihat? Apakah ini penggunaan pilihan yang tepat? Adakah cara untuk membuat bukti kurangnya keunikan lebih akurat?

Terima kasih sebelumnya.

Jawaban

2 AliasK Aug 16 2020 at 06:33

Anda jika dan hanya jika bukti terlihat cukup bagus untuk saya. Namun bukti non-keunikan Anda agak tipis.

Untuk membuktikan non-keunikan, cukup (dan hampir selalu lebih mudah) untuk menunjukkannya dengan sebuah contoh. Anda bisa memasak contoh apa pun tetapi ini yang pertama muncul di kepala saya.

Seandainya $X=\mathbb{R}^2$ dan $Y=\mathbb{R}$ dengan $f:X\to Y$ makhluk $f(x,y)=x$. Jelas fungsi ini ke. Sekarang tentukan peta berikut$S_1:Y\to X$ oleh $S_1(x)=(x,0)$. Tidak perlu banyak waktu untuk meyakinkan Anda akan hal itu$f(S_1(x))=i_Y$.

Selain peta $S_2:Y\to X$ didefinisikan oleh $S_2(x)=(x,x)$ juga akan memberi $S_2(f(x))=i_Y$. Tapi$S_1\neq S_2$ jadi kami telah menunjukkan bahwa ada dua fungsi yang menghasilkan hasil yang diinginkan yang tidak sama (dan karenanya kebalikannya tidak harus unik).