Kebingungan di sekitar aljabar persamaan refleksi

Aug 21 2020

Saya telah menemukan beberapa kejadian yang disebut aljabar persamaan refleksi (REA) tetapi tergantung di mana saya menemukannya, saya merasa seperti saya mendapatkan objek yang sedikit berbeda. Dalam semua kasus, ada aljabar Hopf kuasi-segitiga yang tersembunyi di latar belakang. Berikut ini$V$ akan selalu menjadi ruang vektor dimensi $n$. Berikut adalah daftar kejadian berbeda yang saya temui:

  1. Membiarkan $H$ menjadi aljabar Hopf kuasi-segitiga dengan $R \in H \otimes H$ itu universal $R$-matriks (di sini kita mungkin memiliki penyelesaian tetapi itu tidak terlalu penting). Aljabar refleksi kemudian sebagai ruang vektor ganda terbatas$H^\circ$. Itu adalah subaljabar dari bentang ganda penuh yang disebut koefisien matriks. Struktur aljabar berasal dari struktur aljabar rangkap dua tetapi dipelintir oleh universal$R$-matriks. Saya pikir ini kadang-kadang disebut jalinan ganda$H$. Lihat misalnya definisi 4.12 darihttps://arxiv.org/pdf/math/0204295.pdf

  2. Membiarkan $R: V \otimes V \rightarrow V \otimes V$ menjadi endomorfisme $V \otimes V$memenuhi persamaan Yang-Baxter. Kemudian aljabar persamaan refleksi jika aljabar dibangkitkan oleh unsur-unsur$(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$ dengan hubungan $$RA_1RA_1 = A_1RA_1R$$ dimana $A$ adalah matriksnya $n \times n$ memiliki elemen pembangkit sebagai koefisien dan $A_1 = A \otimes Id$. Saya pikir di sini elemen pembangkit agak dianggap sebagai elemen$V^{\ast} \otimes V$. Ini ditemukan di awal pengenalanhttps://arxiv.org/pdf/1806.10219.pdf

  3. Yang ini adalah contoh khusus. Di sini aljabar Hopf bersembunyi di latar belakang$U_q(\frak{sl_2})$ dan $R$-matriks diberikan oleh $$ \begin{pmatrix} q & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & q-q^{-1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0& q \end{pmatrix}.$$ Dalam hal ini adalah aljabar yang dihasilkan oleh elemen $(a_{ij})_{1 \leq i,j \leq 2}$ dengan hubungan: $$R_{21}A_1RA_2 = A_2R_{21}A_1R$$ dan juga $$ a_{11}a_{22}- q^2a_{12}a_{21} = 1.$$ Aljabar ini sering kali dilambangkan dengan $\mathcal{O}_q(SL_2)$ atau terkadang $\mathcal{O}(Rep_q(SL_2))$. Ini muncul sebagai Contoh 1,23 inhttps://arxiv.org/pdf/1908.05233.pdfdan juga sebagai Definisi 2.1. dihttps://arxiv.org/pdf/1811.09293.pdf (perhatikan catatan kaki untuk mendapatkan kembali apa yang saya tulis).

Saya dapat melihat bagaimana beberapa di antaranya terkait, misalnya yang ketiga hampir merupakan kasus spesifik dari yang kedua tetapi ada satu hubungan lagi.

Pada elemen matriks pertama dapat dianggap sebagai in $W^{\ast} \otimes W$ untuk representasi apa pun $W$ dari $H$. Dalam kasus di mana representasi berdimensi hingga$H$ dapat dilihat sebagai subrepresentasi dari produk tensor dari representasi standar $V$, maka sebenarnya hanya dihasilkan oleh koefisien matriks yang berasal $V$. Itu kemudian terlihat sangat mirip dengan apa yang kita miliki di 2). Namun, masih ada hubungan yang hilang jika seseorang mengkhususkan diri pada kasus tersebut$H = U_q(\frak{sl2})$untuk mendapatkan yang sama seperti di 3). Dan bagaimana jika ada representasi$H$ yang bukan merupakan subrepresentasi dari produk tensor standar?

PERTANYAAN: Apakah semua itu sebenarnya sama atau saya melewatkan sesuatu? Saya agak bingung tentang apa yang sebenarnya disebut aljabar persamaan refleksi. Apakah ada definisi yang bagus untuk aljabar Hopf kuasi-segitiga$H$ yang memasukkan semua "contoh" di atas?

Jawaban

3 Adrien Aug 21 2020 at 17:57
  1. Satu-satunya definisi yang masuk akal dari REA yang terkait dengan aljabar Hopf kuasi-segitiga adalah 1). Ini, tentu saja, merupakan definisi yang agak abstrak tetapi memberikan solusi RE yang universal dalam arti yang tepat.
  2. mengingatkan pada konstruksi yang disebut Faddeev-Reshetikhin-Takhtajan (biasanya disingkat FRT). Keuntungan utamanya adalah tidak memerlukan aljabar Hopf untuk memulai (sebaliknya, dalam konstruksi FRT asli, tujuannya adalah untuk menghasilkan aljabar Hopf yang dimulai dari solusi sembarang QYBE). Bahkan jika$R$ memang berasal dari aljabar Hopf kuasi-segitiga, jawabannya tidak akan sama dengan 1) kecuali dalam kasus $U_q(\mathfrak{gl}_n)$ (meskipun ini tidak sepenuhnya benar, Anda mendapatkan beberapa deformasi $\mathcal O(\mathfrak{gl}_n)$ daripada $\mathcal O(GL_n)$). Secara umum akan ada peta dari 2) sampai 1).
  3. Di sisi lain seperti yang Anda katakan, Anda dapat menjalankan konstruksi ini dalam kasing $V$adalah beberapa representasi yang menghasilkan semua yang lain. Memang pendekatan ini berguna untuk menemukan presentasi REA, karena memang dihasilkan oleh koefisien matriks: secara kasar ini akan memberi Anda satu set generator tetapi tidak secara umum semua relasinya. Inilah yang terjadi di sini: jika Anda menjalankan rekonstruksi mirip-FRT untuk matriks-R dari$\mathfrak{sl}_n$ Anda mendapatkan beberapa aljabar, tetapi kemudian Anda perlu menambahkan relasi ekstra yang Anda sebutkan ini, yang mungkin Anda ketahui, tidak lain adalah a $q$-analog dari $\det(A)=1$. Sekali lagi ini sudah muncul dalam situasi aslinya, lihat Definisi 4 dalamhttp://math.soimeme.org/~arunram/Resources/Reshetikhin/QuantizationOfLieGroupsAndLieAlgebras.html.

Sunting Ada gunanya memikirkan tentang properti universal: 1) bersifat universal untuk aljabar$A$ dengan solusi RE in $A\otimes H$, sedangkan 2) bersifat universal untuk aljabar $A$ dengan solusi RE in $A\otimes End(V)$. Tentu saja, menyusun dengan peta aljabar$H\rightarrow End(V)$ diberikan oleh tindakan $H$ di $V$ setiap solusi dari persamaan pertama memberi Anda solusi untuk persamaan kedua, jadi menerapkannya pada kasus $A$ adalah REA itu sendiri, Anda mendapatkan peta dari aljabar yang dibangun pada 2) ke yang dibangun pada 1).

3 JulesLamers Aug 22 2020 at 12:24

Izinkan saya mencatat terlebih dahulu bahwa matriks refleksi, yang Anda nyatakan dengan $A$, sering disebut K-matrix, cf representasi grafisnya dengan | sebuah 'dinding' dan <'garis dunia' partikel memantul dari dinding. Bentuk grafik dari persamaan tersebut sudah dapat ditemukan di Cherednik, Memfaktorkan partikel pada setengah garis dan sistem akar (1984)https://link.springer.com/article/10.1007/BF01038545. Notasi$K$mungkin disebabkan oleh Sklyanin, Kondisi batas untuk sistem kuantum yang dapat diintegrasikan (1988),https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0305-4470/21/10/015.

The refleksi (persamaan) aljabar adalah analog refleksi-persamaan Yang - aljabar Baxter: untuk setiap pilihan yang terbatas dimensi ruang vektor dan R-matrix mematuhi Yang - persamaan Baxter (dan properti lainnya yang cocok, seperti mengepang unitarity dan 'kondisi awal') seseorang dapat mengasosiasikan aljabar asosiatif unital yang dihasilkan oleh entri nilai operator (nonkomutatif) dari matriks-K yang mengikuti persamaan refleksi.

Jika salah satu akan mengganti refleksi (`$RKRK$') oleh $RLL$-persamaan satu malah sampai pada aljabar Yang-Baxter, yang merupakan aljabar operator yang terkait erat dengan presentasi FRT (atau matriks-R) dari aljabar affine kuantum.

Re 3: Presentasi FRT tidak menjelaskan apa pun tentang determinan kuantum, jadi dapatkan $SL_n$ Anda perlu memaksakan $qdet = 1$ secara terpisah, yang merupakan persamaan terakhir Anda di 3. Versi persamaan refleksi yang Anda berikan di sana terkadang dapat disederhanakan: Misalkan matriks-R simetris dalam arti bahwa $P R P = R$ dengan $P$permutasi tersebut. Kemudian$R_{21} = R_{12}$dalam notasi kaki tensor biasa. Dalam kasus seperti ini, semua matriks-R dalam persamaan refleksi dapat ditulis dengan just$R$. (Secara grafis kebutuhan$R_{21}$ jelas.)

Re 2: Penulis ini bekerja dengan matriks R versi seperti jalinan, yang sering dilambangkan dengan $\check{R}$. Yakni, misalkan$R$ mematuhi YBE

$$ R_{12}(u,v) \ R_{13}(u,w) \ R_{23}(v,w) = R_{23}(v,w) \ R_{13}(u,w) \ R_{12}(u,v) \ , $$

di mana saya berasumsi bahwa matriks-R mungkin bergantung pada parameter spektral yang terkait dengan setiap salinan ruang tambahan secara umum. (Ini untuk kasus affine, tapi membantu menyoroti struktur persamaan.) Lalu keduanya$P \ R$ dan $R \ P$ patuhi versi YBE yang seperti jalinan

$$ \check{R}_{12}(u,v) \ \check{R}_{23}(u,w) \ \check{R}_{12}(v,w) = \check{R}_{23}(v,w) \ \check{R}_{12}(u,w) \ \check{R}_{23}(u,v) \ . $$

Anda harus selalu memeriksa versi mana yang digunakan. Di makalah yang Anda kutip di 2, ini yang terakhir, itulah sebabnya keduanya$A$s memiliki subskrip yang sama.

Perihal 1: Saya percaya bahwa interpretasi aljabar yang tepat dari konstruksi Sklyanin untuk representasi matriks K sebagai matriks monodromi baris ganda, yang dibangun dari matriks K dengan entri skalar dan operator L, adalah sebagai subaljabar coideal , lihat Kolb dan Stokman, Aljabar persamaan refleksi, subaljabar coideal, dan pusatnya ,https://arxiv.org/abs/0812.4459.

Anda mungkin juga tertarik dengan makalah terbaru oleh Appel dan Vlaar, Universal k-matrices for quantum Kac-Moody algebras ,https://arxiv.org/abs/2007.09218