Kebingungan tentang definisi poin akumulasi
Saya telah mencoba mempelajari sedikit tentang batasan urutan dan poin akumulasi untuk mendapatkan intuisi yang lebih baik di balik cara kerja kalkulus dan saya bingung tentang definisi batas, titik batas, dan titik akumulasi urutan dan set.
Pertanyaan pertama saya adalah batas urutan yang sama dengan titik akumulasi dan apakah itu sama dengan titik batas yang saya lihat online dan semuanya sangat kabur. Kebingungan kedua saya adalah bahwa batas urutan sama dengan batas himpunan jika tidak ada bukti atau penjelasan intuitif mengapa tidak ?.
Saya tahu ini mungkin konsep yang sangat sederhana dan mungkin sepele bagi Anda semua di sini, tetapi saya sangat bingung. Terima kasih sebelumnya
Jawaban
Titik batas sama dengan titik akumulasi, dan definisinya adalah:
Sebuah titik $x$ adalah titik batas dari suatu himpunan $A$ jika untuk setiap lingkungan $S$ dari $x$ disana ada $y \in S$ seperti yang $y \in A$, $y \neq x$.
Saya sangat lebih suka nama "titik akumulasi", karena Anda tidak benar-benar membatasi di sini ... sebaliknya! Untuk dapat melakukan batasan, Anda biasanya memerlukan titik akumulasi, karena definisi topologi dari suatu batasan memerlukan pengambilan tetangga dan menghitung fungsi di sana.
Tentang pertanyaan kedua Anda:
Sebuah titik $x$adalah titik akumulasi untuk suatu urutan $\{x_n\}$ jika ada lingkungan $S$ dari $x$ sedemikian rupa sehingga ada banyak indeks yang tak terhingga $n$ seperti yang $x_n \in S$.
Ini pada dasarnya definisi yang sama seperti di atas, tetapi Anda mengambil $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Namun, titik adalah titik batas untuk suatu urutan jika semua indeks setelah tertentu$n$berada di lingkungan mana pun. Secara formal:
Sebuah titik $x$ adalah batas urutan $\{x_n\}$ jika ada lingkungan $S$ dari $x$ sedemikian rupa sehingga ada $N \in \mathbb{N}$ seperti yang $x_n \in S$ untuk semua $n>N$.
Dan ini lebih kuat dari sekadar menjadi titik akumulasi: Anda dapat melihat perbedaannya dengan mempertimbangkan urutannya $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Lingkungan mana pun di$1$ mengandung banyak poin tak terhingga dari urutan ini, yaitu semua $x_{2n}$ setelah tertentu $n$. Demikian pula, lingkungan mana pun di$-1$ akan berisi semua $x_{2n+1}$ setelah tertentu $n$, jadi keduanya $1$ dan $-1$ adalah titik cluster untuk $x_n$. Namun, tidak ada batasan (sebenarnya batasan itu unik, jika ada).
Ada perbedaan antara titik batas dan titik batas. Konsep didefinisikan untuk urutan dan fungsi tetapi titik batas ditentukan untuk himpunan, seperti yang disebutkan dalam jawaban di atas. Suatu urutan mungkin memiliki titik batas tetapi tidak ada batasnya. Misalnya mari$\{a_n\}$ didefinisikan sebagai $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Bahwa $a_n=1+\frac{1}{n} $ untuk ganjil n dan $a_n=-1+\frac{1}{n} $untuk genap. Dalam urutan ini keduanya$1$ dan $-1$ adalah titik batas tetapi urutannya tidak konvergen dan tidak ada batas.