kelompok semidirect dan kelompok metasiklik

Aug 18 2020

Membiarkan $G$ dan $H$ menjadi kelompok dan $\theta : H \to Aut G$sebuah homomorfisme. Menetapkan$G\times_{\theta}H$ disebut produk semidirect dari $G$ dan $H$.

Membiarkan $C_{p}=\langle a\rangle$ dan $C_{q}=\langle b\rangle$ menjadi (perkalian) kelompok siklik dari orde utama $p$ dan $q$ masing-masing seperti itu $p > q$ dan $q\mid p — 1$.

Sebuah. Peta$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ diberikan oleh $a^{i}\mapsto a^{si}$ adalah automorfisme.

b. Peta$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ diberikan oleh $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ seperti pada bagian (a)) adalah homomorfisme ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$.

c. Jika kita menulis$a$ untuk $(a,e)$ dan $b$ untuk $(e,b)$, lalu grup $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ adalah sekelompok pesanan $pq$, dihasilkan oleh $a$ dan $b$ tunduk pada hubungan: $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, dimana $s\not\equiv 1 (\mod p)$, dan $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$. Grup$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ disebut kelompok metasiklik.

Saya telah mencoba untuk memecahkan hal itu, seorang , karena$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$p$ is prime}\rbrace$, karenanya untuk beberapa $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,pada kasus ini $\alpha^{s}$ juga merupakan generator $C_{p}$, Sekarang untuk beberapa $m\in \mathbb{Z}$ imples $s^{m}\equiv1(\mod p)$, peta $\alpha:C_{p}\to C_{p}$mendefinisikan automorfisme. Dihitung$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$.

Untuk b , saya mencoba menggunakan teorema \ textit {Dyck}, tetapi saya tidak yakin

Saya ingin tahu bagaimana menyelesaikannya atau saran apa pun, saya menghargai

Jawaban

1 rain1 Aug 18 2020 at 03:07

Membiarkan $q | p-1$ dan $C_p = \langle a \rangle$ dan $C_q = \langle b \rangle$.

Untuk produk semidirect $C_p \rtimes_\theta C_q$ kita perlu mendefinisikan homomorfisme kelompok $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$.

Kami akan memiliki sekelompok pesanan $pq$ dan $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$


Pertama $\operatorname{Aut}(C_p)$

$\alpha : C_p \to C_p$

$\alpha(a^i) = a^{si}$

akan menjadi automorfisme, yaitu kelompok isomorfisme dari $C_p$ untuk $C_p$, yaitu homomorfisme kelompok yang juga merupakan kebijaksanaan.

Kami dapat menunjukkan itu adalah homomorfisme kelompok:

  • $\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
  • $\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$

dan ini sama saja.

Dan itu akan menjadi bijection jika dikalikan $s$ adalah mod yang bisa dibalik $p$.


$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$

$\theta(b^i) = \alpha^i$

Kami akan menunjukkan ini adalah homomorfisme grup:

  • $\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ melamar $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$.
  • $\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ melamar $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$

dan ini sama sehingga ini adalah homomorfisme kelompok yang valid.


Detail tentang $s$:

Dari $\alpha$ menjadi bisa dibalik kita membutuhkan itu $s$ adalah mod unit $p$.

Dari $\theta$ menjadi homomorfisme kelompok dari $C_q$ (yaitu $\theta(b^q) = \theta(1)$) kami membutuhkan itu $\alpha^q = 1$. Jadi kita butuh$s^q \equiv 1 \pmod p$.

Sekarang kita akan selalu melakukannya $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ jadi kita bisa mengambil akar primitif $r$ dan perhatikan $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ jadi kami menemukan $s$ dengan menaikkan $r$ dengan kekuatan $(p-1)/q$.


Secara umum hasil perkalian semidirect memiliki operasi perkalian sebagai berikut ($b$ adalah elemen umum, bukan generator untuk $C_q$ untuk baris berikutnya saja):

$$(b,g)(c,h) = (b \theta(g)(c), gh)$$

Jadi dalam kasus kami

$$ba = (1,b)(a,1) = (\theta(b)(a),b) = (\alpha(a),b) = (a^{s}, b) = a^{s} b$$