Kemungkinan memilih kartu poker

Question

Saya mencoba memecahkan masalah probabilitas tentang lima kartu poker. Saya memiliki akses ke jawaban yang berbeda dari apa yang saya dapatkan. Pertanyaannya adalah:What is the probability that a five-card poker hand has exactly two cards of same value, but no other cards duplicated?

Jawaban saya atas pertanyaan ini adalah sebagai berikut: $\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$. Yang berarti:

1. Pertama pilih nomor kartu kemudian pilih dua jenisnya yaitu. $\binom{13}{1} \binom{4}{2}$. Ini akan menjadi dua kartu dengan nilai yang sama.
2. Pilih tiga kartu lain yang bukan duplikat sebagai: $\binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1}$.

Jawaban yang benar tidak sesuai dengan jawaban saya. Jawaban ini disediakan dalam buku AOPS dan sebagai:$\binom{13}{1} \binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$.

Jadi pertanyaannya adalah, apa yang saya lakukan salah? Terima kasih

Answer 1

Berdasarkan aturan produk , setelah nomor kartu yang pertama dipilih dan dua jenisnya, kita perlu memilih$3$ kartu dengan $3$ nilai yang berbeda $\binom{12}{3}$ dan kemudian untuk masing-masing kita dapat memilih di antara empat setelan itu $\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$. Dengan metode Anda, pilihan$\binom{48}{1}$ dan dua lainnya berikutnya salah karena Anda menghitungnya secara berlebihan (mis $3,5,8$ akan berbeda dari $5,3,8$). Karena itu, dengan cara Anda menghitung, Anda perlu membaginya$3!=6$.

Answer 2

solusi buku Anda benar. Mari 'jelaskan brainstorming yang benar.

Untuk mendapatkan satu pasang yang tepat pada 5 undian yang Anda miliki:

• 13 pilihan untuk memilih pasangan {AA, 22,33, ...}

• untuk setiap pasangan yang Anda miliki $\binom{4}{2}$ pilihan untuk memilih jas: hati, berlian, klub atau sekop

• untuk sisa 3 undian yang Anda miliki $\binom{12}{3}$ pilihan kartu yang berbeda

• untuk setiap pilihan prevoius yang Anda miliki $4^3$ pilihan untuk jas: hati, berlian, tongkat atau sekop

• kalikan semua perolehan poin prevoius.

$$13\times\binom{4}{2}\times\binom{12}{3}\times4^3$$

Answer 3

Misalkan Anda memilih tangan $7\heartsuit, 7\spadesuit, 5\clubsuit, 9\diamondsuit, J\spadesuit$. Metode Anda menghitung tangan ini$3! = 6$ kali, tergantung pada urutan di mana Anda memilih tiga lajang.

Urutan di mana tiga lajang dipilih tidak masalah, itulah sebabnya jawaban yang benar memilih tiga peringkat dari mana satu kartu diambil dan kemudian memilih satu kartu dari masing-masing peringkat itu.

Perhatikan itu $$\frac{1}{6}\binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{48}{1}\binom{44}{1}\binom{40}{1} = \binom{13}{1}\binom{4}{2}\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1}$$

Answer 4

Jumlah kemungkinan kasus: $ c_p = \binom{52}{5} $.

Jumlah kasus yang menguntungkan:

Pilih rangkaian kartu pertama: $ \binom{13}{1} \binom{4}{2} $.
Perhatikan bahwa binomial pertama digunakan untuk memilih nomor kartu, dan yang kedua untuk memilih dua simbol dari empat.

Pilih tiga rangkaian kartu yang berbeda: $ \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3 $ Perhatikan bahwa binomial pertama digunakan untuk mengambil tiga kartu, dan yang kedua hanya memilih satu simbol untuk masing-masing dari tiga kartu.

Hasil: $$ p = \frac{\binom{13}{1} \binom{4}{2} \binom{12}{3} \binom{4}{1}^3}{\binom{52}{5}}. $$

Dalam solusi Anda, tiga binomial terakhir dapat memberikan rangkaian tiga kartu identik, karena Anda hanya memilih kartu, bukan simbol.

Answer 5

Anda dan buku menghitung secara berbeda bagaimana memilih tiga kartu yang tersisa. Jawaban Anda adalah:$$ \binom{48}{1}\binom{44}{1} \binom{40}{1} = 48 \cdot 44 \cdot 40 = 4^3 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$$ Jawaban buku adalah: $$\binom{12}{3}\binom{4}{1}\binom{4}{1}\binom{4}{1} = 4^3 \cdot \frac{12\cdot 11\cdot 10}{3!}$$ Mereka berbeda dengan a $3!$faktor, yaitu jumlah permutasi dari tiga objek berbeda. Ini menunjukkan bahwa Anda sedang mempertimbangkan urutan ketiga kartu yang tersisa.