Keragaman metrik Riemannian yang disesuaikan dengan foliasi (1 dimensi) tertentu, sudut pandang A Kerin Millman

Nov 29 2020

Membiarkan $X$ menjadi bidang vektor Kronecker pada torus dua dimensi $\mathbb{T}^2$. Membiarkan$K$ menjadi ruang dari semua 1 bentuk $\alpha$ kelas $C^1$ di $\mathbb{T}^2$ yang memuaskan $d\alpha=0,\;\alpha(X)=1$. Kemudian$K$ adalah himpunan bagian tertutup cembung dari semua $C^1$ 1 formulir aktif $\mathbb{T}^2$.

Adalah $K$ bagian kompak dari ruang 1-bentuk sehubungan dengan $C^1$topologi? Jika jawabannya setuju. Menurut Teorema Kerin Millman, apa yang merupakan gambaran pasti dari titik-titik ekstrimnya$K$?

Apakah struktur topologi $K$ tergantung pada pemilihan bidang vektor $X$bersinggungan dengan foliasi Kronecker awal kami dari torus? Apakah struktur topologi$K$bergantung pada kemiringan foliasi Kronecker kami?

Motivasi:

Motivasi untuk pertanyaan ini adalah sebagai berikut:

Dalam posting ini dan beberapa posting terkait lainnya, kami mencoba menemukan metrik Riemannian yang kompatibel dengan orbit bidang vektor yang tidak hilang. Memilih berbagai metrik memungkinkan kita memiliki fungsi kurva yang berbeda. Memiliki fungsi kelengkungan yang tepat sangat penting untuk menerapkan teorema Gauss Bonnet pada masalah siklus batas bidang vctor. (Untuk menghitungnya sebagai geodesik tertutup). Jadi situasi ini membuat kita berpikir tentang keragaman bentuk-1 diferensial tertutup$\alpha$ dengan $\alpha(X)=1$. Dalam kondisi ini, khususnya properti konveksitas tertutup dari himpunan ini$K$. seseorang tergoda untuk penasaran tentang gambaran presice dari kemungkinan titik-titik ekstrim$K$.

Catatan: Untuk generalisasi pertanyaan ini ke$n$ dimensi ruang kita harus mempertimbangkan ruang dari semua bentuk-1 $\alpha$ dengan $i_X d\alpha=0,\;\alpha(X)=1$.

Jawaban

5 ThomasRot Nov 29 2020 at 21:35

Saya rasa tidak kompak, tapi mungkin saya melewatkan kondisi normalisasi?

Membiarkan $X=\partial_x+a\partial_y$, dengan $a$irasional (sebenarnya tidak penting untuk hal-hal berikut). Membiarkan$\alpha\in C$ (misalnya $\alpha=dx$) dan biarkan $\omega_\lambda=\lambda(a dx-dy)$, untuk $\lambda\in \mathbb R$. Sebagai$X$ tinggal di kernel $\omega_\lambda$, dan $d\omega_\lambda=0$, kemudian $\alpha+\omega_\lambda\in C$.