Ketertutupan dalam teori skema

Question

Membiarkan $X$ menjadi skema dan $(U_i)_{i\in I}$ penutup terbuka,

(1) Diberikan subset $Z\subset X$, Kenapa $Z\cap U_i$ ditutup untuk semua $i$ menyiratkan itu $Z$ ditutup?

(2) Biarkan $A$jadilah cincin. Diberikan skema morfisme$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ seperti yang $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ tertutup untuk semua affine $A$ skema $Y$, apakah ini menyiratkan itu $f$ ditutup secara universal?

Answer 1

(1) Karena itu

$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$

dan sejak $U_i\cap Z$ ditutup $U_i$ kami melihat itu $U_i-(U_i\cap Z)$ terbuka $U_i$ dan dengan demikian terbuka $X$.

(2) Ya, dengan 1). Untuk memeriksanya$f$ secara universal ditutup biarkan $Y$ menjadi apapun $A$-skema. Kami perlu menunjukkan itu$f(X_Y)$ ditutup $Y$. Tapi, biarkan$Y=\bigcup_i U_i$ untuk affine open subschemes $U_i$ dari $Y$. Dengan 1) sudah cukup untuk melihat itu$f(X_Y)\cap U_i$ ditutup untuk semua $i$. Tapi, perhatikan itu$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$. Memang, ini mengikuti diagram Cartesian

$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$

Jadi, cukup untuk menunjukkan itu $f(X_{U_i})$ditutup. Tapi, sejak itu$U_i$ adalah sebuah affine $A$- Skema kita tahu ini dengan asumsi.

Answer 2

Morfisme hingga skema ditutup. . Lihatlah jawabannya di sini untuk bagian pertama.

Membiarkan $Y$ kacang $A$-skema. Mengatakan$Y=\bigcup_i Y_i$ dimana $Y_i \subset Y$adalah subkema affine terbuka. Akan ditampilkan$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$adalah peta tertutup. Membiarkan$C\subset X\times_A Y$. Set$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$. Kemudian$C_i$ ditutup $X\times_A Y_i$ yang merupakan sub-skema terbuka dari $X\times_A Y$. Kami memiliki diagram komutatif$\require{AMScd}$ \ mulai {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V {id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> Y \ end {CD} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ yang ditutup $Y_i$dengan asumsi. Jadi pada bagian sebelumnya,$f(C)$ ditutup $Y$. Jadi$f$ ditutup secara universal.