Kondisi energi positif dalam teori medan kuantum untuk Hamiltonian terkait dengan vektor Pembunuhan mirip waktu yang berbeda

Aug 16 2020

Efek Unruh adalah contoh terkenal di mana dua Hamiltonian $H$ dan $\hat H$terkait dengan bidang vektor Pembunuhan mirip waktu yang berbeda, keduanya memiliki batas bawah, dalam representasi ruang Hilbert yang sama, meskipun keduanya tidak terkait satu sama lain oleh isometri ruangwaktu. Pertanyaan ini menanyakan tentang generalisasi.

Pertimbangkan teori medan kuantum dalam ruangwaktu datar, diekspresikan dalam istilah operator medan yang bekerja di ruang Hilbert. Membiarkan$K$ dan $\hat K$menjadi dua bidang vektor Pembunuhan mirip waktu yang berbeda, tidak harus terkait satu sama lain oleh isometri apa pun, dan tidak harus mencakup seluruh ruangwaktu. (Sebagai contoh, pikirkan koordinat Rindler.) Mari$R$ menjadi wilayah ruangwaktu di mana kedua bidang vektor Pembunuhan ditentukan, dan mempertimbangkan aljabar benda-benda yang dapat diamati di $R$. Membiarkan$H$ dan $\hat H$ menjadi operator (Hamiltonian) yang menghasilkan terjemahan dari observasi ini bersama $K$ dan $\hat K$, masing-masing.

Pertanyaan: Misalkan aljabar direpresentasikan pada ruang Hilbert sedemikian rupa sehingga spektrum salah satu Hamiltonian$H$memiliki batas bawah. Apakah ini menyiratkan bahwa spektrum Hamiltonian lainnya$\hat H$ juga memiliki batas bawah (dalam representasi ruang Hilbert yang sama)?$^\dagger$

Saya tidak mencari bukti kedap air, hanya argumen yang meyakinkan - sesuatu yang cukup jelas sehingga saya dapat memeriksa setiap langkah dalam teori medan bebas.

Ngomong-ngomong, jika ini tidak familiar: kerapatan Hamiltonian belum tentu pasti positif dalam teori medan kuantum, bahkan tidak dalam representasi di mana Hamiltonian itu sendiri pasti positif. Lihat Fewster (2005) "Energy Inequalities in Quantum Field Theory",https://arxiv.org/abs/math-ph/0501073, yang mengatakan (halaman 2):

medan kuantum telah lama diketahui melanggar semua kondisi energi pointwise [4] dan, dalam banyak model, kerapatan energi pada kenyataannya tidak dibatasi dari bawah pada kelas keadaan fisik yang wajar.

$^\dagger$ Pertanyaannya mengacu pada bagaimana operator direpresentasikan di ruang Hilbert. Itu penting karena$H$biasanya tidak memiliki batas bawah di sebagian besar representasi ruang Hilbert bahkan jika itu ada di salah satunya. Kondisi spektrum adalah properti representasi ruang-Hilbert tertentu, bukan hanya properti aljabar abstrak dari observasi.

Jawaban

4 ChiralAnomaly Sep 14 2020 at 05:25

Jawabannya adalah tidak , dan ironisnya, contoh yang saya gunakan untuk memotivasi pertanyaan sebenarnya adalah contoh yang berlawanan: spektrum Rindler Hamiltonian tidak memiliki batas bawah.

Rindler Hamiltonian menghasilkan dorongan di ruangwaktu Minkowski. Ekspresi dalam tensor energi-tegangan ditunjukkan pada persamaan (25) di

Ekspresi tersebut menjelaskan bahwa Rindler Hamiltonian tidak boleh memiliki batas bawah.

Kalau dipikir-pikir, ini terlihat jelas oleh simetri. Kebalikan dari dorongan adalah sama dengan dorongan yang dikombinasikan dengan refleksi spasial. Refleksi spasial tidak mengubah spektrum, tetapi kebalikannya membalikkan tanda spektrum. Satu-satunya cara ini bisa sama adalah jika spektrumnya simetris sekitar nol. Oleh karena itu, jika spektrum tidak memiliki batas atas, ia juga tidak dapat memiliki batas bawah.


Catatan:

  1. Makalah Jacobson (dikutip di atas) menganggap hanya sebagian Hamiltonian yang diperoleh dengan mengintegrasikan lebih dari satu "irisan Rindler", tetapi permukaan integrasi tersebut bukanlah permukaan Cauchy. Untuk melihat Hamiltonian secara penuh di permukaan Cauchy, kita perlu mempertimbangkan Rindler kiri dan kanan yang menyatu, dan kemudian terbukti bahwa Hamiltonian penuh tidak dapat memiliki batas bawah.

  2. Berhati-hatilah karena beberapa literatur Unruh-effect secara diam-diam mendefinisikan ulang nama "keadaan vakum" menjadi sesuatu yang berbeda dari "keadaan energi terendah."

  3. Untuk analisis yang cermat dari beberapa kehalusan, lihat Requardt, "The Rigorous Relation between Rindler and Minkowski Quantum Field Theory dalam Skenario Unruh", https://arxiv.org/abs/1804.09403

3 MicheleGrosso Aug 17 2020 at 19:56

Dalam QFT (teori medan kuantum) kepadatan Lagrangian $\mathcal L$dibangun untuk menjadi invarian Lorentz. Berdasarkan Lagrangian Anda membangun kepadatan Hamilton$\mathcal H$, yang diminta menjadi pasti positif.

Jika Anda mengubah sistem referensi, secara formal Lagrangian tidak berubah, maka Hamiltonian juga tidak akan berubah. Akibatnya, ketegasan positif Hamiltonian akan dipertahankan, bahkan jika diterapkan pada bidang yang diubah.

3 AdolfoHolguin Sep 13 2020 at 09:45

Misalkan Anda dapat memulai penyedot debu Minkowski $(H-E_{\Omega})|{\Omega}\rangle=0$. Kemudian untuk setiap vektor Pembunuhan seperti waktu (yang akan saya anggap sebagai menentukan kurva seperti waktu atau pengamat yang dipercepat) kita dapat menanyakan apakah ada vakum. Secara lokal, wilayah di ruang di mana medan pembunuhan ditentukan dapat dimasukkan ke dalam bentuk koordinat Rindler. Dengan kata lain, pada setiap waktu yang tepat kita tahu apa itu percepatan dan kovarian umum memberi tahu Anda bahwa fisika lokal sama dengan ruang Minkowski. Jadi ruang hampa Minkowski untuk pengamat ini akan terlihat seperti keadaan termal, mungkin dengan suhu yang bervariasi. Dengan kata lain, pengamat yang dipercepat selalu melihat cakrawala efektif yang dapat digunakan untuk menetapkan suhu, jadi pertanyaan Anda harus dijawab oleh efek Unruh.