Kondisi Iff untuk a $C^1$-diffeomorphism untuk dimiliki $L^1$ atau $L^\infty$ Jacobian
Membiarkan $\Delta,D$ menjadi dua subset terbuka dari $\mathbb{R}^d$, dan biarkan $\varphi:\Delta \rightarrow D$ menjadi a $C^1$-diffeomorphism dengan determinan Jacobian $J_{\varphi}.$
Buktikan itu $\lambda_d(D)<+\infty$ jika dan hanya jika $J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$
Buktikan itu $J_\varphi$ dibatasi $\Delta$ jika dan hanya jika $\exists c>0$ sedemikian rupa sehingga untuk semua terbuka $\Omega \subset\Delta$, $\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$
Untuk bagian 1, hasil sebagai berikut dari $\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$
Untuk bagian 2, jika $J_\varphi$ terikat, $\exists c>0$ sedemikian rupa sehingga untuk semua terbuka $\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$
Bagaimana kita bisa membuktikan kebalikannya?
Jawaban
Ingatlah itu untuk fungsi berkelanjutan apa pun $f$ didefinisikan di lingkungan suatu titik $x\in\mathbb R^d$, $$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$
Misalkan fungsi kontinu $|J_\varphi|$tidak dibatasi. Kemudian untuk masing-masing$n\in\mathbb Z_{>0}$, disana ada $x_n\in \Delta$ seperti yang $|J_\varphi(x_n)|>2n$. Karena itu, cukup kecil$r_n>0$, $$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$ artinya $$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$ jadi tidak seperti itu $c>0$ bisa ada.