Kuantisasi Fluks dalam QED Kompak 3D Polyakov
Dalam bukunya "Gauge Fields and Strings", Polyakov memperkenalkan QED kompak pada kisi kubik dalam ruang Euclidean 3D sebagai: $$ S\left[ \left\{ A_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}}\right\} \right]=\frac{1}{2g^2}\sum_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}(1-\cos{F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}}) $$
Dimana $F$ adalah fluks bersih melalui plak yang direntang oleh vektor kisi $\mathbf{\alpha}$ dan $\beta$ di titik $\mathbf{r}$ dan diberikan oleh: $$ F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}=A_{r,\alpha}+A_{r+\alpha,\beta}-A_{r,\beta}-A_{r+\beta,\alpha}$$ Yang secara intuitif adalah ikal $A$di sekitar plak. Transformasi pengukur didefinisikan sebagai:$$ A_{r,\alpha}\to A_{r,\alpha}-\phi_{r}+\phi_{r+\alpha} $$Di mana tindakan itu tidak berubah. Satu hasil yang jelas adalah bahwa fluks total melalui permukaan Gaussian yang tertutup adalah nol. Ini benar karena:$$\sum_{p\in cube} F_p=0$$Karena setiap bidang pengukur pada setiap tautan muncul dua kali dengan tanda yang berbeda pada jumlah di atas. Sehingga tidak mungkin terdapat monopole pada sistem ini kecuali monopole Dirac yang dapat dibangun dengan mengasumsikan fluks melalui 5 sisi kubus memiliki tanda yang sama sedangkan satu sisi memiliki fluks netto bertanda negatif sehingga fluks total tetap nol .
Tetapi kemudian, dia (Polyakov) menyatakan bahwa fluks ini (yang hanya melewati salah satu permukaan kubus) dikuantisasi. Saya tidak tahu bagaimana membuktikannya. Tampaknya transformasi pengukur tunggal diperlukan (menurut makalah oleh 't Hooft) dan kita perlu memasangkan bidang pengukur ke bidang lain (mungkin materi), tetapi saya tidak dapat menemukan cara untuk mengimplementasikan transformasi itu dalam model kisi dan bahkan orang mungkin bertanya mengapa kita harus berpasangan$A$ke derajat kebebasan lain. Poin ini juga disebutkan di sini:https://physics.stackexchange.com/a/202806/90744 lagi tanpa bukti apapun.
Buku tersebut menggunakan tindakan lain yang diklaim setara dengan tindakan aslinya, yang diberikan oleh: $$ S=\frac{1}{4g^2}\sum_{r,\alpha,\beta}(F_{r,\alpha \beta}- 2\pi n_{r,\alpha \beta})^2 $$ Dimana $n$adalah bidang bernilai integer. Tindakan ini secara umum tidak setara dengan tindakan asli. karena di sini kami mengizinkan penyimpangan dari non-periodisitas$A$ untuk berkontribusi dan karena itu kami hanya dapat menggunakannya dalam skala kecil $g$ membatasi.
Jawaban
Nah, mengenai pertanyaan itu, harus mengikuti dari versi diskrit teorema Stokes '. Pertimbangkan kubus, dalam kasus fluks bukan nol, menembus kubus, seseorang tidak dapat menetapkan secara global potensi pengukur$A_\mu$, hanya secara lokal, di bagan tertentu. Mari kita bagi kubus menjadi dua grafik, yang tumpang tindih setidaknya di ekuator
Belahan utara dan selatan. Menurut teorema Stokes fluks melalui permukaan merah pucat sama dengan sirkulasi$A_\mu$ di sekitar ekuator: $$ \int_{U_N} F d S= \sum_{i \in s} F_i S_i = \oint A_\mu dx^{\mu} = \sum_{i \in l} A_i l_i $$ Dimana $s$ - menunjukkan semua permukaan di bagan, dan $l$ - segmen garis di ekuator, dan $S_i$ - luas permukaan, $l_i$- panjang segmen. Dalam integral di atas ekuator, seseorang dapat memilih dalam teorema Stokes untuk diintegrasikan$U_N$ dan $U_S$, dan hasilnya, dari sudut pandang fisik, seharusnya tidak bergantung pada pilihan permukaan.
Bagian elektromagnetik dari aksi partikel titik adalah: $$ S = \oint A_\mu d x^{\mu} $$ Tindakan untuk partikel titik memasuki integral jalur sebagai $e^{i S}$ Oleh karena itu, agar $e^{i S}$ untuk menjadi bernilai tunggal, fluks di belahan bumi utara dan selatan harus memenuhi kondisi berikut: $$ \int _{U_N} F = - \int _{U_S} F + 2 \pi n \qquad n \in \mathbb{Z} \qquad \Rightarrow \qquad \int _{U_N \cup U_S} F = 2 \pi n $$
Logika ini tidak memiliki ketelitian, tetapi mungkin memberikan beberapa intuisi. Hal lain, yang dapat dicatat, bahwa monopole adalah solusi klasik - minimal dari aksi fungsional, dan dari aksi, orang dapat melihat, bahwa:$$ \cos F_{r, \alpha \beta} = 1 \Rightarrow F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ Jadi jumlah seluruh wajah, akan dikuantisasi.
Tindakan, yang telah Anda tulis di akhir posting Anda, adalah perkiraan Penjahat atau Gaussian dari tindakan asli, yang mengasumsikan, bahwa fluktuasi bidang pengukur mendekati minimum$F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n$, dan diperoleh dengan ekspansi kosinus ke urutan kedua: $$ 1 - \cos F_{r, \alpha \beta} = \frac{1}{2} (F_{r, \alpha \beta} - 2 \pi n_{r, \alpha \beta})^2 $$