Matematika Hyperconcise D5: Bilangan kompleks

Koordinat kutub (r, θ) = (magnitudo, sudut berlawanan arah jarum jam dengan Cartesian (1, 0)) dapat digunakan untuk melacak sudut antara beberapa vektor dalam dua dimensi. Mereka terkait dengan koordinat Cartesian (x, y) melalui persamaan x = r⦁cos(θ) dan y = r⦁sin(θ) ((−r, θ) mengacu pada titik (r, θ + τ/2 ), dan jika k adalah sembarang bilangan bulat, (r, θ + k⦁τ) mengacu pada titik (r, θ)). Memecahkan r dan θ, r² = x² + y² dan

Misalnya,

Mengalikan sebuah bilangan (vektor 1 dimensi) dengan −1 akan memutarnya τ/2 radian di sekitar 0 (dalam ruang 1 dimensi). Seseorang dapat mendefinisikan jenis bilangan baru (i) sedemikian rupa sehingga mengalikan suatu bilangan dengan i memutarnya τ/4 radian di sekitar 0 (dalam bidang kompleks); bilangan apa pun dalam bentuk x + i⦁y, dengan x dan y keduanya bilangan real (bilangan apa pun yang dapat didefinisikan sebagai limit dari satu ekspresi desimal) dan i² = −1 dikenal sebagai bilangan kompleks. Bidang kompleks adalah ruang 2 dimensi yang memuat semua bilangan kompleks.

Jika z adalah bilangan kompleks (e adalah konstanta yang ditentukan dengan kalkulus),

Misalnya,

Saat menggunakan properti "fungsi" terbalik dengan bilangan kompleks, Anda tidak dapat lagi mengabaikan cabang lainnya:

Teorema dasar aljabar: Jika setiap aₖ dan bₖ adalah bilangan kompleks yang tidak bergantung pada z (beberapa mungkin sama), maka