Mathematica mengeluarkan integral trigonometri ( $\sec^3$) dalam bentuk yang tidak dapat saya buktikan

Aug 16 2020

Integral tak tentu tentu saja $1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica memberi:

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

Itu $1/2 \sec(x) \tan(x)$ ada di sana, tapi saya telah menghabiskan beberapa jam mencoba membuktikan bahwa logaritma Mathematica benar-benar ada $\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, dan saya tidak bisa melakukannya! Itu$x/2$setengah sudut melempar kunci pas ke dalam karya untuk saya. Mereka sepertinya sangat salah bagi saya, ini seperti rumus setengah sudut ke belakang. Saya mendapatkan akar kuadrat di mana saya ingin melihat kuadrat.

Saya yakin saya melewatkan sesuatu yang jelas, tetapi saya tidak bisa melihatnya!

Jawaban

4 flinty Aug 15 2020 at 22:13

Bedakan, gabungkan logaritma, dan kerjakan mundur menggunakan rumus setengah sudut dan identitas $1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

Anda bisa sampai di sana sendiri jika Anda pertama kali menunjukkan:

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

Untuk mendapatkan hasil di atas, lihat apa yang terjadi jika Anda meletakkannya di atas penyebut yang sama:

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

Pembilangnya jelas 1 dengan identitas $\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$ dan penyebutnya adalah $\cos(x)$dengan setengah sudut. Untuk melihat ini, luaskan penyebutnya$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$ mendapatkan $d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Lalu kita punya$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$ dan $1/d$ aku s $\sec(x)$

... dan untuk sisa turunannya:

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

Jadi karena itu:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)