Membiarkan $ a$menjadi bilangan asli tetap. Buktikan bahwa himpunan pembagi prima dari $ 2^{2^{n}} + a$ untuk $ n = 1,2,\cdots$ tidak terbatas
$\textbf{Question:}$Membiarkan $ a$menjadi bilangan asli tetap. Buktikan bahwa himpunan pembagi prima dari$ 2^{2^{n}} + a$ untuk $ n = 1,2,\cdots$ tidak terbatas.
Saya telah mengetahui bahwa masalah ini dengan mudah mengikuti dari "Teorema Kobayashi". Tapi itu mungkin tidak akan memberikan poin apa pun pada situasi kontes-matematika.
Selain itu, saya pikir kita perlu menggunakan ide di balik bukti tak terhingga bilangan prima oleh Euclid. Tapi sepertinya terlalu rumit. Saya hampir tidak bisa membuat kemajuan dalam masalah ini. Jadi, segala jenis petunjuk atau solusi dihargai. Terima kasih sebelumnya.
Jawaban
Misalkan dengan bilangan tetap a kita mendapatkan komposit bentuk $N=2^{2^n}+a$yang memiliki beberapa pembagi prima. Jika kita membuktikan bahwa komposit ini banyak tak terhingga maka kita dapat menyimpulkan bahwa bilangan pembagi prima dari N untuk a tetap adalah tak berhingga (inilah pertanyaan yang diajukan, jika saya memahaminya dengan benar).
Saya menemukan teorema ini dalam buku teori bilangan oleh Sierpinski. Buktinya oleh A. Schintzel.
Teorema: Untuk setiap bilangan asli $k ≠ 1$ ada banyak bilangan asli yang tak terhingga seperti n seperti bilangan itu $2^{2^n}+k$ adalah komposit.
Bukti:
Misalkan a adalah bilangan asli sembarang dan k bilangan bulat tidak sama dengan satu. Ambil $k-1=2^s h$ dimana $2^s$ adalah kekuatan terbesar $2$ yang membagi $k-1$dan h adalah bilangan ganjil yang bisa positif atau negatif. Ambil m seperti itu$2^{2^m}>a-k$ dan nomor t sedemikian rupa $t≥s$ dan juga $t≥m$. Jika$2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k> a$ adalah komposit, maka kami memiliki bilangan komposit dalam bentuk $2^{2^n}+k$lebih besar dari a. Jadi kami berasumsi$p=2^{2^t}+k$adalah bilangan prima. Sejak$t≥s$ dan $k-1=2^sh$, maka kami memiliki:
$p-1=2^{2^t}+k-1=2^sh_1$
dimana $h_1$ adalah bilangan ganjil positif Sekarang karena teorema Euler kita memiliki:
$2^{\phi(h_1)} ≡ 1 \ mod (h_1)$
Sejak $p-1=2^s h_1$, kemudian:
$2^{s+\phi(h_1)}≡ 2^s \ mod (p-1)$
Sejak $t≥s$ , kita mendapatkan:
$2^{t+\phi(h_1)}≡ 2^t \ mod (p-1)$
Akhirnya karena teorema kecil Fermat kita memiliki:
$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k ≡ 2^{2^t}+k≡ 0 \ mod (p)$
Sejak $2^{t+\phi(h_1)}> 2^t$ lalu kita bisa menulis:
$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k>2^{2^t}+k=p$
Oleh karena itu angka $2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k$ akan menjadi komposit yang lebih besar dari a, karena:
$p=2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k > a$
Buktinya sudah selesai.