Membiarkan $P$ menjadi a $30$poligon bersisi tertulis dalam lingkaran. Temukan nilai $\frac{N}{100}$.

Question

Membiarkan $P$ menjadi a $30$poligon bersisi tertulis dalam lingkaran. Ada$N$ jumlah segitiga yang simpulnya merupakan simpul dari $P$ sedemikian rupa sehingga dua simpul dari setiap segitiga dipisahkan oleh setidaknya tiga simpul lainnya di $P$. Temukan nilai$\frac{N}{100}$.

Apa yang Saya Coba : Ini lebih seperti masalah Kombinatorik daripada masalah geometri, jadi inilah yang saya pikirkan.

Pertama, perbaiki satu titik segitiga. Poin selanjutnya dapat dipilih$23$cara. Tapi saya tidak yakin bagaimana memilih file$3$rd point, seperti untuk memilih $2$Dan ada sedikit variasi juga, yang tidak mengikuti aturan.

Saya berpikir sebelumnya untuk memperbaiki satu poin, dan kemudian berikutnya $2$ poin dapat dipilih di ${23}\choose{2}$ cara, tapi kemudian saya menyadari bahwa itu salah sejak itu $2$ poin mungkin tidak memiliki $3$ titik kesenjangan, dan saya tidak bisa melanjutkan bagaimana melanjutkan ini.

Seperti biasa, saya juga tahu bahwa jumlah segitiga pada file $n$poligon bersisi tanpa sisi bersama diberikan dengan rumus: - $$\rightarrow\frac{n(n-4)(n-5)}{6}$$ Jadi jumlah total segitiga adalah $3250$, tapi saya tidak yakin bagaimana fakta ini akan membantu dalam masalah ini.

Ada yang bisa bantu saya? Terima kasih.

Answer 1

Pilih titik mana saja dan sebut saja $A_1$. Beri label titik-titik tersebut berlawanan arah jarum jam$A_2,\ldots,A_{30}$ .

Simpul kedua bisa dari mana saja $A_5$ untuk $A_{27}$.

Saat kedua $A_5$, simpul ketiga bisa dari mana saja $A_9$ untuk $A_{27}$. Begitulah$19$ cara.

Saat kedua $A_6$, simpul ketiga bisa dari mana saja $A_{10}$ untuk $A_{27}$. Begitulah$18$ cara.

Dan seterusnya. Jumlah segitiga$= 19+18+17+\ldots+1$

Kita bisa mulai pada titik mana pun sebagai simpul pertama, jadi yang diinginkan adalah $$\dfrac{19\cdot20}{2} \cdot \dfrac{30}{3}$$

Jika kita meninggalkan setidaknya $k$ titik antara simpul yang berdekatan, dengan logika yang sama kita akan dapatkan $$\dfrac{n(n-3k-1)(n-3k-2)}{6}$$

sesuai $k$. Sejak$3k+2$ jumlah titik ditinggalkan terlebih dahulu saat simpul kedua $A_{k+2}$.

Answer 2

Pendekatan alternatif adalah dengan menggunakan metode bintang dan batang.

Kita dapat menggeneralisasi dan mempertimbangkan alih-alih segitiga, $k$poligon bersisi. Biarkan juga$d$ menjadi "jarak" minimum di antara simpul-simpul itu $k$poligon bersisi, di mana "jarak" adalah jumlah simpul dalam ditambah satu. Dalam kasus kami, kami punya$k = 3$ dan $d = 4$. Jadi masalahnya menjadi menemukan jumlah solusi dari:

$$ x_1 + x_2 + \ldots + x_{k-1} + x_k = n$$

dimana $x_i, i=1,\ldots,k$ adalah "jarak" antara simpul dari $k$poligon bersisi, dengan batasan:

$$x_i \ge d, i=1,\ldots,k$$

Kita bisa mendefinisikan $y_i = x_i+d, i=1,\ldots,k$, lalu persamaan pertama menjadi:

$$y_1 + y_2 + \ldots + y_{k-1} + y_k = n-kd$$

dengan $y_i \ge 0, i=1,\ldots,k$. Oleh karena itu, dengan metode bintang dan batang, solusi untuk setiap simpul adalah:

$${n-kd+k-1 \choose k-1}$$

dan ada $n$ simpul, tapi setiap $k$poligon bersisi sama dengan $k$ dari mereka, jadi solusi akhirnya adalah:

$${n-kd+k-1 \choose k-1}\frac{n}{k}={30-3\cdot4+3-1 \choose 3-1}\frac{30}{3}={20 \choose 2}\frac{30}{3}=1900$$