Membuktikan $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$ salah
$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 1$$
Diberikan $\epsilon > 0$ $$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon.$$ Tulis ulang sebagai $$-\epsilon < \frac{1}{x} - 1 < \epsilon$$ $$-\epsilon + 1< \frac{1}{x} < \epsilon + 1$$ Jika epsilon sangat kecil, maka di kedua sisi kita mendapatkan nilai yang mendekati $1$, tetapi fungsinya mendekati nol, oleh karena itu kedua sisi bernilai salah. Jika$\epsilon$ besar, lalu di sisi kanan kita mendapatkan nilai positif yang besar, tetapi dengan $ n \in (0,1)$fungsinya menjadi lebih besar juga. Karenanya sisi kanan gagal. Apakah ini bukti suara? Dan jika ya, bagaimana saya menulis ulang dengan simbol matematika?
Jawaban
Saya akan menerimanya, karena saya tahu apa yang Anda maksud dengan sangat kecil. Namun, dalam hal ini yang terbaik adalah menjelaskan apa yang Anda maksud dengan tepat. Jika kita menggunakan 1/2, dan biarkan$x>2$, kemudian $1/x<1/2$. Jadi kita tidak bisa$1/x\to1$.
Jujur saja, sisi kanan tidak masalah dalam kasus ini. Kita hanya perlu memecahkan salah satu ketidaksetaraan untuk menunjukkan bahwa konvergensi tidak berlaku. Tetapi dalam hal apapun itu selalu benar$x\geq1$ bahwa $1/x<1+\epsilon$, jadi ketidaksetaraan yang benar berlaku.
Argumen Anda itu $\frac 1x$ pergi ke $0$kebutuhan untuk dibuktikan dan bahwa pada dasarnya adalah apa yang diminta untuk dibuktikan; membuktikan$\frac 1x$ tidak pergi ke$1$.
Dan jika Anda benar-benar membuktikannya$\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$ (yang tidak-- lihat tambahan) itu tidak cukup karena meskipun notasi batasnya $\lim_{x\to \infty}f(x) = L$ terlihat seperti kesetaraan, itu sebenarnya berarti untuk setiap$\epsilon > 0$ ada $N$ yang seperti itu $x > N \implies |f(x) - L| < \epsilon$dan kami tidak tahu bahwa tidak mungkin ada dua$L$s. (Meskipun kami dapat dan benar-benar membuktikannya sejak awal-- lihat tambahan).
Berikut petunjuknya: $|\frac 1x - 1| =|1-\frac 1x|= |\frac {x-1}x|$.
jadi jika $|\frac 1x - 1|<\epsilon$ kemudian $-\epsilon < \frac {x-1}x < \epsilon$. Sekarang sebagai$x\to \infty$ kita bisa berasumsi $x > 1$ begitu $-\epsilon x < 0 < x-1 < x\epsilon$
$x-x\epsilon=x(1-\epsilon) < 1$
Jika kita memilih file $\epsilon$ yang seperti itu $0<\epsilon < 1$ kita punya $x < \frac 1{1-\epsilon}$.
Nah, itu menempatkan batas atas $x$ yang bertentangan dengan itu $x \to \infty$ jadi itu tidak mungkin.
======
Tambahan:
Klaim: $\lim_{x\to \infty} \frac 1x = 0$.
Pf: Untuk semua $\epsilon >0$ Membiarkan $N =\frac 1{\epsilon}$(yang positif). Jika$x > N$ kemudian $|\frac 1x -0| = \frac 1x < \frac 1N =\epsilon$.
Klaim: Jika $\lim_{x\to \infty} f(x) = L$ dan $M \ne L$ kemudian $\lim_{x\to \infty} f(x)= M$ tidak benar.
Bukti: Jika $L \ne M$ kemudian $|L - M| > 0$. Membiarkan$\epsilon = \frac {|L-M|}2$
Jika $|f(x) - M| < \epsilon$ dan $|f(x) - L| < \epsilon$ kemudian
$|L - M| = |(L - f(x)) + (f(x) - M)| \le |L-f(x)| + |f(x)-M| < \epsilon + \epsilon = |L-M|$
Begitu $|L-M| < |L-M|$yang tidak mungkin. Jadi tidak ada$N$ atau $N'$ sehingga jika $x >N$ dan $x > N'$ (yaitu $x > \max(N,N')$ kemudian $|f(x)-L| < \epsilon$ dan $|f(x) -M| < \epsilon$ karena itu tidak mungkin.
......
Jadi jika Anda tidak ingin membuktikannya seperti yang saya lakukan di tubuh posting ini, Anda dapat menginstal dan membuktikan batasan, ketika ada, itu unik. Dan itu$\lim_{x\to \infty}\frac 1x =0$ dan itu $0 \ne 1$ begitu klaimnya $\lim_{x\to \infty}\frac 1x = 1$ salah.
Diberikan $\epsilon > 0$ asumsikan wlog $x>1$ dan $\epsilon<1$ kemudian
$$\left|\frac{1}{x} - 1\right| < \epsilon \iff1-\frac1x < \epsilon \iff \frac1x>1-\epsilon \iff x<\frac1{1-\epsilon }$$
maka ketidaksetaraan gagal untuk apa pun $x\ge M=\frac1{1-\epsilon }$.
Hanya sebagai metode pembuktian alternatif, pertimbangkan integral yang tidak tepat $$I=\lim_{x\to\infty}\displaystyle\int_{1}^{x} \frac{1}{t^2}\,dt$$
Kami tahu itu sejak itu $t^2\geq 0$ untuk semua $t\in\mathbb{R}$, dan dalam hal ini, $t\geq 1>0$, jadi kami punya itu $1\geq \frac{1}{t^2}>0$, yang menyiratkan bahwa fungsi dalam integrand benar-benar positif pada interval $[1,\infty)$, jadi integralnya juga harus benar-benar positif, yaitu, $I>0$. Setelah menghitung, kami melihat itu$$I=\lim_{x\to\infty} -\frac{1}{t}\bigg|_{t=1}^{t=x} = \lim_{x\to\infty}-\frac{1}{x}+1=\lim_{x\to\infty}-(\frac{1}{x}-1)=-(1-1)=0\not>0$$
Jadi, anggapan itu $\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}=1$ salah.
Untuk menunjukkan bahwa pernyataan itu salah, cari $\epsilon$ yang tidak memiliki korespondensi $x^\star$, seperti itu kapan pun $x \geq x\star$, $| \frac{1}{x} - 1 | < \epsilon$tidak tahan. Seharusnya$L = 1$ dan biarkan $\epsilon = \frac{1}{2}$. Pertimbangkan kapan$x^\star \geq 1$, kemudian \begin{align*} | \frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*}
kapanpun $x \geq 2$. Pertimbangkan kapan$x^\star <1$, kemudian \begin{align*} |\frac{1}{x} -1 | \geq \frac{1}{2} \end{align*} kapanpun $x \geq 2$.
Oleh karena itu, tidak ada $x^\star$ untuk $\epsilon = \frac{1}{2}$. Oleh karena itu, pasti salah bahwa batasannya adalah$1$.