Memecahkan $\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$ tanpa kalkulator grafis untuk bentuk yang tepat

Question

Adakah cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini tanpa menggunakan kalkulator grafik untuk mendapatkan bentuk pastinya?

$$\sqrt{9-x^2} > x^2 + 1$$

Saya sudah mencoba menyelesaikan kotak tetapi akhirnya $$\frac{3 - \sqrt{41}}{2} < x^2 < \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$$ yang tidak sesuai dengan jawaban di Desmos.

Answer 1

$$9-x^2>x^4+2x^2+1$$ $$x^4+3x^2-8<0$$ $$\left(x^2+\frac32 \right)^2 < 8+\frac94$$

$$\left(x^2+\frac32 \right)^2< \frac{41}4$$

$$0\le x^2<\color{red}-\frac32 + \frac{\sqrt{41}}2$$

Sekarang, jawaban Anda harus sesuai.

Answer 2

Petunjuk:

• Jika $A>B>0$ kemudian $A^2>B^2$. Terapkan ini ke$\sqrt{9-x^2}>x^2+1$.
• Sebagai $x^2+1$ selalu positif $9-x^2>0$.

Keduanya harus puas. Jadi yang Anda butuhkan$\cap$ untuk memotong kumpulan solusi dari kedua kasus.

Petunjuknya dijelaskan.

\ mulai {mengumpulkan} 9-x ^ 2> x ^ 4 + 2x ^ 2 + 1 \\ x ^ 4 + 3x ^ 2-8 <0 \\ (x ^ 2- \ frac {-3+ \ sqrt {41 }} {2}) (x ^ 2- \ frac {-3- \ sqrt {41}} {2}) <0 \ end {berkumpul}

yang harus berpotongan dengan

\ mulai {mengumpulkan} 9-x ^ 2> 0 \\ x ^ 2 <9 \ end {berkumpul}

Solusinya adalah $x^2< \frac{-3+\sqrt{41}}{2}$ atau $$-\sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}<x< \sqrt{\frac{-3+\sqrt{41}}{2}}$$