Memodifikasi teori absorber Feynman-Wheeler agar bekerja dengan potensi sewenang-wenang?

Question

Saya mencoba untuk mempertimbangkan dinamika multi-benda relativistik dalam relativitas khusus. Dalam mekanika klasik, menulis sederhana itu mudah$n$-sistem tubuh dengan potensi sewenang-wenang $V$:

\ mulai {persamaan} m \ ddot {x} _ i = \ sum_ j - \ nabla_ {x_ i} V (| x_ i-x_ j |). \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {persamaan} Dalam relativitas khusus, sangat menggoda untuk mengganti ini dengan potensi terbelakang, di mana$x_ j$ dievaluasi pada saat dimana $c |\Delta t|=|x_ i-x_ j|$. Namun ini berakhir dengan solusi yang meledak seiring waktu . Saya ingin mencari tindakan untuk sistem 2 benda yang direduksi menjadi persamaan \ ref {1} di batasnya$v\ll c$, tetapi juga memiliki hukum konservasi yang benar dan bermakna secara fisik.

Karena ini semua dalam ranah reaksi radiasi, saya pikir titik awal yang pasti adalah mempertimbangkan hal-hal dari sistem tipe Lagrangian Feynman-Wheeler ( Elektrodinamika Klasik dalam Hal Aksi Antar Partikel Langsung ), karena kesimetriannya akan secara langsung memberikan hukum konservasi ( meskipun dengan beberapa kecepatan penundaan ringan). Saya memberi label pada dua partikel$a$ dan $b$, dan saya sedang bekerja dengan $c=1$, muatan unit dan massa, tanda tangan $(- + + +)$, dan $t$parameter sewenang-wenang yang memberi label garis dunia. Kemudian aksinya adalah:

$$A=-\sum_{i=a,b}\int dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}} - \iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 \label{2}\tag{2}$$

Catat itu $dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}}$ harus benar-benar dianggap sebagai $\sqrt{-dx_i^\mu dx_{i\mu}}$, dan bahwa integral ganda harus benar-benar dianggap sebagai $dx_a^\mu dx_{b\mu}$. Jadi kami benar-benar reparameterization invariant, dan kami benar-benar berintegrasi sehubungan dengan garis dunia. (Juga mencatat: "$x^2$"dalam arti fungsi delta $x^\mu x_\mu$.)

Sangat mudah untuk melihat bahwa ini memberikan gaya Coulomb: partikel Fix $b$ ke asalnya sehingga $x_b^\mu(t)=(t,\vec{0})$. Kemudian untuk$x_a^\mu(t)=(t,\vec{x}_a(t))$, kami temukan $\dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}=1$. Terapkan identitas fungsi delta$\delta(g(x))=\sum_{g(x_0)=0} \delta(x-x_0)/|g'(x_0)|$ dan berintegrasi dengan hormat $t_2$ mendapatkan

$$\iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 =\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|}=\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2\Delta t|}.\label{3}\tag{3}$$

$t_a$ dan $t_r$ adalah masa-masa maju dan terbelakang dengan $|\Delta t|=|\Delta x|$, jadi menjumlahkan keduanya kita mendapatkan aksi satu partikel dalam potensial Coulomb $$\int dt_1 \frac{1}{|\Delta x|}$$

Jadi istilahnya $|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|$ berubah menjadi perbedaan vektor $|\Delta \vec{x}|$. Ini mengarah pada ide: kalikan saja istilah interaksi dengan istilah-istilah seperti itu. Istilah tindakan yang dikoreksi mungkin terlihat seperti ini:

$$\iint F(|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu} /\sqrt{- \dot x_b^\nu\dot x_{b\nu}}|) \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2. \label{4}\tag{4}$$

Jika $F(x)=xV(x)$ dan partikel $b$ ditetapkan pada asalnya, ini memberikan batas yang benar, dan merupakan invarian kovarian dan reparameterisasi Lorentz (itulah yang $\sqrt{-\ldots}$ istilah untuk), tetapi juga nikmat $x_a$ lebih $x_b$! Symmetrizing sehubungan dengan$a$ dan $b$ sepertinya juga oke, karena untuk $|\frac{d}{dt} \vec{x}_a| \ll 1$ kita harus punya $\dot x_{a\mu} /\sqrt{- \dot x_a^\nu\dot x_{a\nu}}\approx (1,\vec{0})$, tapi rasanya harus ada rute yang lebih sederhana untuk turun.

Adakah yang mengetahui cara untuk melakukan ini, atau memiliki ide yang lebih baik tentang cara mengubah istilah interaksi?

Kovariansi Lorentz dan invariansi reparameterisasi memberikan beberapa batasan berat pada tindakan, jadi mungkin tidak mungkin mendapatkan tindakan yang sangat elegan dengan properti yang diinginkan.

Answer 1

Lihat kertas berikut ini:

• Louis-Martinez, DJ (2006). Interaksi relativistik non-instan-pada-jarak-jauh . Physics Letters B, 632 (5-6), 733-739, doi: 10.1016 / j.physletb.2005.11.029 , arXiv: hep-th / 0510193 .

Dari tindakan menggeneralisasi interaksi antarpartikel langsung Feynman-Wheeler dengan memberlakukan kondisi invarian Poincaré dan persyaratan tambahan bahwa parameter di sepanjang garis dunia adalah waktu yang tepat dari partikel dan massa tersebut harus berupa kuantitas skalar, penulis dapat menunjukkan bahwa satu-satunya bentuk potensial yang diperbolehkan oleh kondisi tersebut adalah kombinasi dari potensial Coulomb dan potensial yang meningkat secara linier: $V(r)=\alpha r + \beta/r$.