memperoleh ekspresi yang disederhanakan untuk koefisien $x^n$

Question

Saya mencoba mencari koefisien $x^n$ dalam perluasan $(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2},$ dilambangkan $[x^n]\{(1+x)^{-2}(1-2x)^{-2}\}$. Menggunakan teorema binomial negatif, saya tahu bahwa itu sama dengan$$ \begin{split} \sum_{j=0}^n &([x^j](1+x)^{-2})([x^{n-j}](1-2x)^{-2}) \\ &= \sum_{j=0}^n {j+1\choose 1}(-1)^j{n-j+1\choose 1}2^{n-j} \\ &= \sum_{j=0}^n (j+1)(n-j+1)(-1)^j2^{n-j}. \end{split} $$

Namun, saya bertanya-tanya apakah ada cara untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih jauh?

Answer 1

Seperti yang disarankan oleh @AnginaSeng, Anda dapat menerapkan dekomposisi pecahan parsial: \begin{align} \frac{1}{(1+x)^2(1-2x)^2} &=\frac{1/9}{(1+x)^2}+\frac{4/27}{1+x}+\frac{4/9}{(1-2x)^2}+\frac{8/27}{1-2x}\\ &=\frac{1}{9}\sum_{n \ge 0}\binom{n+1}{1}(-x)^n+\frac{4}{27}\sum_{n\ge 0} (-x)^n+\frac{4}{9}\sum_{n \ge 0} \binom{n+1}{1}(2x)^n+\frac{8}{27}\sum_{n\ge 0} (2x)^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\frac{1}{9}\binom{n+1}{1}(-1)^n+\frac{4}{27}(-1)^n+\frac{4}{9}\binom{n+1}{1}2^n+\frac{8}{27} 2^n\right) x^n\\ &=\sum_{n \ge 0}\left(\color{blue}{\frac{(3n+7)(-1)^n+(12n+20)2^n}{27}}\right) x^n \end{align}

Answer 2

Mungkin inilah cara untuk memulai. Kita bisa mendefinisikan$$ f(x,y) = \sum_{j=0}^n (j+1)x^j (n-j+1) y^{n-j}, $$ yang pada akhirnya mungkin ingin kita ketahui $f(-1,2)$. Perhatikan bahwa ini sangat menyarankan untuk membedakan fungsi yang lebih sederhana. Dengan kata lain, mengintegrasikan wrt$x$ kita mendapatkan $$ I_x(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} (n-j+1) y^{n-j} + C(y) $$ dan mengintegrasikan lagi wrt $y$ $$ I_{xy}(x,y) = \sum_{j=0}^n x^{j+1} y^{n-j+1} + \int C(y) dy + K(x). $$ Jika kita membiarkan $C(y) = 0 = K(x)$ kita punya $I_{xy}(x,y)$yang seharusnya mudah dihitung melalui deret geometris lurus. Kemudian ambil sebagian wrt$x$ lalu $y$ (atau sebaliknya), dan evaluasi pada $x=-1,y=2$.

---

Mungkin cara yang lebih sederhana untuk mencatatnya $$ f(-1,2) = 2^n \sum_{j=0}^n (j+1) (n-j+1) (-2)^{-j} = A \sum_{j=0}^n 2^{-j} + B \sum_{j=0}^n j 2^{-j} + C \sum_{j=0}^n j^2 2^{-j}, $$ di mana Anda bisa mendapatkan $A,B,C$ dengan memperluas hasil kali linier dan menyederhanakannya, dan 3 jumlahnya adalah deret geometris $\sum_k a^k$ dan 2 turunannya.