Memvisualisasikan skema $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$

Aug 19 2020

Membiarkan $k$ menjadi bidang aljabar tertutup (bagi saya, saya menggunakan $k=\mathbb C$). saya tahu itu$\mathrm{Spec} \, k[x]/(x^2)$ hanya terdiri dari ideal prima $(x)$. Memang, cita-cita apapun$\mathfrak p$ dari $k[x]/(x^2)$ adalah cita-cita $k[x]$ seperti yang $(x^2) \subset \mathfrak p$.

Jika sekarang kita pertimbangkan $\mathrm{Spec} \, k[x,y]/(y^2)$, sekarang cita-cita utama $k[x,y]$ adalah $(0)$, $(x-a,y-b)$ untuk $a,b \in k$ dan polinomial yang tidak dapat direduksi $f(x,y)$ menghasilkan $(f(x,y))$.

Jelas $(y^2)\not\subset (0)$. Adapun polinomial tak tersederhanakan, kami punya$(y^2) \subset k[x,y]f(x,y)$, jadi saya pikir adalah benar untuk mengatakan bahwa cita-cita dalam bijeksi dengan ini adalah bentuknya $(a+f(x)y+g(x))$ dimana $a,b \in k$ dan $f,g$tidak bisa direduksi. saya kira$(x-a,y-b)$ juga akan menjadi cita-cita utama dari cincin hasil bagi karena hasil bagi dengan mereka memberikan domain integral.

Sekarang saya tertarik untuk memahami generalisasi $\mathrm{Spec} \, k[x,y_1,y_2,\dots,y_n]/(y_1^2,\dots,y_n^2)$. Khususnya:

  • Bisakah kita mengklasifikasikan semua elemen spektrum cincin ini, untuk $n \geq 1$?
  • Bisakah kita memvisualisasikan skema ini, dan telah dipelajari dalam beberapa konteks di literatur?

Jawaban

4 Soumik Aug 18 2020 at 23:09

Membiarkan $R=\frac {k[y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)} $

Kemudian $\operatorname {Spec} \frac {k[x,y_1,y_2,\dots ,y_n]}{(y_1^2,y_2^2,\dots , y_n^2)}=\operatorname{Spec} R[x]= \mathbb A^1_R$, garis affine di atas ring $R$. Amati itu sejak$m= (\bar y_1,\bar y_2, \dots , \bar y_n )$, adalah cita-cita maksimal nilpoten dari $R$, $\operatorname {Spec} R= \{m \}$, yaitu itu adalah titik penting dalam pengertian Mumford.

Jika $p\in \mathbb A^1_R$, pertimbangkan gambarnya dalam $\operatorname {Spec} R$ di bawah morfisme struktur $\mathbb A^1_R\xrightarrow{\pi} \operatorname{Spec} R$. Jadi$\pi(p)=m$.

Sejak kita punya $R/m \cong k $, kami melihat korespondensi satu-satu $$\operatorname{Spec} R[x] \leftrightarrow \operatorname {Spec }k[x]$$

Jadi sebagai $\textbf{sets}$ kamu punya $\mathbb A^1_R =\mathbb A^1_k $

Tapi tentu saja struktur berkas gandumnya berbeda. $\mathbb A^1_R$ memiliki nilpoten dalam berkas struktur.