Mendekati transformasi Fourier

Jan 03 2021

Misalkan transformasi Fourier $\hat{f}(k)$ (dengan $k \in \mathbb{R}^d$) diberikan, dan seseorang bermaksud untuk mendapatkan beberapa informasi tentang rekan ruang posisinya $f(x)$. Ketika perhitungan analitik dari transformasi Fourier terbalik$\hat{f}(k)$ tidak mungkin, seseorang masih dapat mengekstrak informasi yang berguna dengan mengkhususkan diri pada kawasan tertentu $k$ruang; misalnya, dalam fisika statistik, sering kali merupakan kebiasaan untuk mempelajari sifat "makroskopis" dari, misalnya, fungsi korelasi, dengan memeriksa$k\to 0$batas transformasi Fourier mereka. Tampak bagi saya bahwa proses seperti itu agak analog dengan melihat deret Taylor dari transformasi Fourier , yaitu, \ begin {persamaan} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partial_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {persamaan} Jika seseorang memotong deret ini dan kemudian mencoba melakukan transformasi Fourier terbalik,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ dalam beberapa kasus orang mungkin menemukan bahwa hasilnya menyimpang sebagai $k\to\infty$. Namun, dalam banyak teori, dan terutama dalam teori lapangan, ada batas atas untuk$k$yang menentukan kisaran validitas teori itu; pemutusan seperti itu sering menyelesaikan kemungkinan divergensi dari transformasi Fourier terbalik.

Pertanyaan Apakah fungsi posisi-ruang yang diperoleh dari transformasi invers deret Taylor terpotong$\hat{f}_{\rm trunc}$, dengan beberapa pemutusan $\Lambda$, mendekati fungsi aslinya$f(x)$dalam arti apapun? jika tidak, adakah cara sistematis untuk mendapatkan bentuk perkiraan seperti itu dari transformasi Fouriernya$\hat{f}(k)$?

Jawaban

G.Carugno Jan 13 2021 at 19:53

Saat Anda memotong ekspansi Taylor $0$, Anda mengatakan bahwa Anda tertarik pada mode dengan panjang gelombang yang panjang. Ini sering kali merupakan mode yang berumur panjang, sehingga untuk waktu yang lama mode tersebut akan menggambarkan sistem Anda. Dalam semangatnya, ini seperti melakukan butiran kasar: Anda melupakan dinamika mikroskopis yang cepat dan hanya menyimpan informasi makroskopik. Dalam arti yang lebih teliti, seseorang memiliki$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, jadi jika aproksimasi transformasi fourier Anda bagus di $L^2$ akal sehingga akan menjadi perkiraan ruang posisi $f(x)$.