Mengapa persamaan Maxwell tidak ditentukan secara berlebihan? [duplikat]
Pertimbangkan empat persamaan diferensial dalam tabel yang diberikan di wikipedia di sini dan anggaplah tidak ada distribusi muatan pada setiap titik waktu, dan dengan demikian juga tidak ada arus. Jika tidak ada muatan, maka keempat persamaan tersebut direduksi menjadi sebagai berikut:
$\nabla\cdot E = 0$
$\nabla\cdot B = 0$
$\frac{\partial B}{\partial t} = -\nabla\times E$
$\frac{\partial E}{\partial t} = c^2\nabla\times B$
Dua persamaan terakhir memberi tahu kita bagaimana medan magnet dan listrik berubah dari waktu ke waktu, dengan demikian mengingat beberapa medan magnet dan listrik awal, seseorang harus dapat menentukan keadaan masa depan kedua medan. Ini membuat dua persamaan pertama tampak mubazir bagi saya dan dengan demikian sistem tampaknya terlalu ditentukan. Bagaimanapun mereka jelas diperlukan, jadi saya pasti melewatkan sesuatu. Apakah dua persamaan pertama hanyalah kondisi awal?
Jawaban
Dua persamaan Maxwell pertama menggambarkan medan magnet dan listrik statis. Dari persamaan-persamaan ini kita mempelajari sifat-sifat geometris bidang-bidang tersebut, dan sifat garis-garis gaya yang dihasilkan medan-medan ini. Yang pertama (saat ada muatan)
$$\nabla \cdot \vec E = \rho$$
mengarahkan kita untuk menentukan bentuk medan listrik untuk segala jenis distribusi muatan. Ini sangat penting untuk studi elektrostatika. Selanjutnya persamaan ini dapat digunakan untuk menurunkan persamaan Poisson,
$$\nabla^2 V = -\rho$$
yang memungkinkan kita untuk menentukan potensial elektrostatis $V$untuk berbagai distribusi muatan. Kita juga dapat menggunakan persamaan Maxwell di atas untuk mendapatkan hukum Coulomb (meskipun hukum ini belum tentu merupakan hasil langsung dari persamaan ini saja). Persamaan Poisson juga merupakan alat yang sangat ampuh dalam studi elektrostatika. Persamaan ini juga memiliki aplikasi yang kuat dalam fisika semikonduktor.
Persamaan kedua yang Anda sebutkan,
$$\nabla \cdot \vec B = 0$$
memberi tahu kita sesuatu yang sangat penting, yaitu bahwa monopole magnetik tidak ada. Implikasi matematis dari persamaan ini adalah harus ada potensial vektor magnet$\vec A$ dimana
$$\vec B = \nabla \times \vec A$$
Ini adalah hasil matematika yang kuat. Potensi vektor magnetik ini ada di mana-mana dalam elektrodinamika klasik dan elektrodinamika kuantum.