Mengapa semua gerakan dalam tubuh yang kaku berhenti sekaligus?
Saya sedang membaca buku yang menyajikan masalah:
Seorang pemain hoki yang tidak puas melempar tongkat hoki di sepanjang es. Ia berputar di sekitar pusat massanya saat ia meluncur dan akhirnya terhenti oleh aksi gesekan. Gerak rotasinya berhenti pada saat yang sama ketika pusat massanya berhenti, bukan sebelum dan bukan sesudah. Jelaskan mengapa.
Saya melihat pertanyaan serupa di: Mengapa tongkat hoki es, ketika dilempar di atas es selalu berputar dan menerjemahkan bersama sebelum berhenti? Mengapa tidak hanya memutar atau menerjemahkan saja? tetapi saya tidak merasa puas dengan jawabannya.
Pertanyaannya ada di bab energi jadi saya mencoba menyelesaikannya dengan energi. Saya pikir jika gaya gesekan pada COM adalah F dan jaraknya bergerak s sebelum berhenti, maka kita dapat menulis persamaannya$\frac{1}{2}mv^2 = Fs$dimana LHS merepresentasikan energi kinetik awal. Kita juga bisa menulis persamaan serupa untuk energi rotasi, tapi saya tidak yakin apa yang harus dilakukan setelah itu. Apakah masuk akal untuk mencoba membuktikannya secara ketat atau hanya dengan penalaran?
Pertanyaan lain yang muncul dari pemikiran tentang pertanyaan ini adalah bagaimana Anda akan mengukur torsi yang dibawa oleh gesekan karena tersebar di seluruh batang, tidak hanya pada satu titik?
Jawaban
Jika tongkat adalah batang, memiliki kontak biasa dengan tanah sepanjang panjangnya, gaya gesekan yang berlawanan dengan rotasi menyarankan untuk memodelkannya sebagai 2 balok kantilever dengan beban terdistribusi seragam, dipasang di COM. Beban gesekan didistribusikan sepanjang panjangnya, menghasilkan maks. torsi mendekati COM dan nol di ujungnya.
Jadi untuk area kecil yang dekat dengan ujung, torsi total hanya dihasilkan dari beban di area ini: $$\delta \tau = \delta I\frac{d\omega}{dt}$$ $\delta \tau = \delta Fr$ dan gaya gesek pada elemen adalah $\delta F = \mu \delta N = \mu \delta m g$
Momen inersia $\delta I = \delta m r^2$ dan $$\omega = \frac{v}{r}$$
Begitu, $$\mu \delta m g r = \delta m r^2 \frac{1}{r} \frac{dv}{dt} \implies \frac{dv}{dt} = \mu g $$
Jika kita menghitung gaya untuk menurunkan kecepatan translasi rata-rata di daerah yang sama: $$\delta F = \delta m\frac{dv_t}{dt} = \mu \delta N = \mu \delta mg \implies \frac{dv_t}{dt} = \mu g$$
Di bawah percepatan yang sama, keduanya harus berkurang bersama-sama. Jika ini terjadi pada ujung batang, semua bodi akan berhenti berputar dan bergerak secara linier pada saat yang sama untuk model ini.
Tetapi jika misalnya, bagian tengah memiliki kontak tetapi tidak pada ujungnya, sangat mungkin batang terus berputar, setelah menghentikan gerakan translasinya.
Menurut saya pernyataan itu tidak benar. Secara umum, benda geser dapat berhenti berputar atau menerjemahkan sebelum gerakan lainnya berhenti. Mungkin hanya ada satu.
Misalnya, ambil disk seragam. Putar dan letakkan di atas es. Ini akan berputar di tempatnya untuk sementara waktu, dan berhenti. Demikian juga, geser tanpa berputar. Ini akan meluncur sampai berhenti.
Seperti yang ditunjukkan oleh pos yang Anda tautkan, tongkat hoki itu istimewa. Ini memiliki koefisien gesekan yang berbeda di ujung yang berbeda. Itu bisa membuatnya berputar jika Anda memulainya hanya dengan menggeser. Tapi itu tidak harus. Geser dengan ujung gesekan tinggi di belakang, seperti menembakkan busur dan anak panah. Ini akan meluncur berhenti tanpa berputar.
Jika Anda memutarnya sedikit dan banyak kecepatan, gesekan dapat mengorientasikannya sebelum berhenti.
Setelah membaca jawaban lainnya (+1 untuk keduanya), saya menyimpulkan bahwa intuisi saya salah. Rotasi dan terjemahan berhenti pada saat bersamaan.
Berikut adalah makalah yang menganalisis penggabungan gerakan geser dan pemintalan dengan cakram tipis, dan mengapa kedua gerakan berhenti pada saat yang bersamaan. Makalah ini menetapkan model matematika dan melaporkan hasil eksperimen dengan CD pada permukaan nilon yang menguji teori tersebut.
Sunting sebagai tanggapan atas komentar: Model matematika mengasumsikan cakram datar dengan distribusi massa seragam dan secara eksplisit mengabaikan efek dari ketinggian terbatasnya (gaya normal tidak seragam yang mengarah ke lintasan melengkung). Percobaan menggunakan CD sebagai perkiraan. Atasan mungkin berperilaku berbeda, meskipun saya dapat mengamati bahwa ujung atas "mengembara" di sepanjang permukaan sebagai akibat gaya (seperti presesi, embusan udara atau ketidakrataan di permukaan) yang sejauh ini tidak cukup untuk bergerak itu jika tidak berputar.
Alasan yang mendasari interaksi antara pemintalan dan geser ini adalah karena gesekan dinamis tidak bergantung pada kecepatan gerakan; itu hanya bergantung pada gaya normal (di sini gaya gravitasi) dan konstanta material. Arahnya di setiap titik permukaan berlawanan dengan arah kecepatan titik tersebut. Dengan benda geser yang berputar cepat, semua vektor kecepatan hampir seluruhnya bersinggungan karena bagian rotasinya mendominasi vektor. Besarnya vektor sangat tinggi, tetapi tidak relevan: Gaya gesekan tidak bergantung padanya. Akibatnya, gaya gesekan hampir seluruhnya tangensial juga; mereka kebanyakan membatalkan satu sama lain sehubungan dengan gerakan maju dan hanya memperlambat rotasi. 1
Akibatnya, torsi gesek (yang memperlambat putaran) lebih tinggi daripada gaya gesekan linier (yang menghentikan gerakan maju) jika putarannya cepat dibandingkan dengan gerakan maju - dan sebaliknya. Inilah sebabnya mengapa gerakan "lebih cepat" dari dua gerakan mengerem lebih banyak, sampai mereka sejajar dan berhenti bersamaan. Gambar di bawah ini (hal. 2 dari kertas) menunjukkan saling ketergantungan itu.$\epsilon$ adalah hasil bagi gerak maju dan gerak sudut, $v/R\omega$. Untuk gerakan linier kecil tetapi rotasi cepat torsi gesekan mendominasi (sisi kiri gambar (a)), dan untuk gerakan linier cepat dengan sedikit rotasi gesekan linier mendominasi (sisi kanan gambar):
1 Ini agak tidak biasa: Kami sering "membedah" kecepatan atau kekuatan menjadi konstituen mereka dan mempertimbangkannya secara individual, secara independen. Dalam hal ini meskipun komponen lateral mempengaruhi gesekan longitudinal karena ia mengubah arah vektor, dan sebaliknya: Karena gesekan pada arah tertentu tidak bergantung pada besar komponen vektor pada arah tersebut. Besarnya komponen itu konstan, gesekannya tidak. Sangat berlawanan dengan intuisi.