Mengevaluasi batas hasil bagi dua jumlah tak terhingga

Question

Bagaimana saya dapat mengevaluasi batas ini?

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$

Oleh WolframAlpha, batasnya harus 2 tapi bagaimana saya bisa menunjukkan ini? Saya melihat itu monoton meningkat jadi ketika saya bisa menunjukkan$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, itu akan selesai. Tapi aku agak buntu ...

Answer 1

perhatikan bahwa penyebut dapat ditulis ulang sebagai $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ Ini menjadi sangat mudah setelah ini: bagi pembilang dan penyebut dengan $\sum_{k=1}^n \frac 1k$. Ini memberi Anda batasan$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

Answer 2

Aturan L'Hopital memiliki versi terpisah, dalam kondisi tertentu; ini biasanya dikenal sebagai teorema Stolz-Cesaro . Di sini, kami memperlakukan penjumlahan sebagai integrasi (dan sebaliknya, menganggap perbedaan sebagai diferensiasi). Pernyataannya biasanya seperti ini: jika berurutan$\{ b_n \}$ positif dan $\sum b_n = \infty$ (yaitu divergen), lalu untuk urutan apa pun $\{ a_n \}$ real seperti itu $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, kita punya

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

Konsekuensi yang cukup keren dari ini adalah tes perbandingan batas.

Untuk contoh yang diberikan, ambillah $a_n = 1/n$ dan $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ mendapatkan $2$ sebagai batasnya.

Answer 3

Penjelasan intuitif:

Rasionya adalah

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ dan untuk tumbuh $k$, syarat $\frac12$menjadi semakin tidak signifikan. Pada saat yang sama kedua deret berbeda, sehingga suku awal tidak menjadi masalah.

---

Dengan argumen yang lebih serius, Anda dapat mengelompokkan jumlah dengan integrasi dan mendapatkan batas formulir $\log n+c$. Kemudian dengan meremasnya

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

Answer 4

Membandingkan istilah demi istilah, kami punya $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ Demikian pula, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ Jadi, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ dan oleh karena itu, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ Sekarang terapkan Teorema Squeeze.