Menggeneralisasi masalah Borsuk: Berapa banyak kita bisa mengecilkan satu set planar diameter 1 dengan memotongnya $k$ potongan?

Question

Masalah Borsuk menanyakan apakah set yang dibatasi$\mathbb{R}^n$ dapat dipecah menjadi $n+1$set dengan diameter yang lebih kecil. Sementara benar kapan$n=1,2,3$, gagal dalam dimensi $64$dan lebih tinggi; Saya percaya semua yang lain$n$ terbuka pada tulisan ini.

Namun, ternyata setidaknya di $n=2$kasus kita bisa lebih tepat daripada "diameter sangat kecil"; jika set asli memiliki diameter 1, kami dapat memastikan bahwa setiap bagian memiliki diameter paling banyak$\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866$, suatu batasan yang dicapai oleh lingkaran diameter $1$. Untuk melihat bahwa ini berlaku, kami mencatat bahwa segi enam biasa lebarnya$1$adalah solusi untuk masalah penutup universal Lebesgue , dan dapat dibagi menjadi tiga set diameter$\frac{\sqrt{3}}2$juga:

Saya tertarik untuk memberi batasan pada pembedahan semacam itu dengan lebih dari$3$ potongan: berapa diameter minimum yang dapat dipastikan saat memotong satu set planar diameter unit $k$ potongan?

Menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas (menemukan set tertentu dengan batas bawah, dan membedah penutup universal untuk set diameter 1), saya memiliki beberapa batas untuk yang lebih tinggi $k$ juga, meski hanya untuk $k=3,4,7$ apakah mereka tepat:

(Memperluas tabel ini lebih jauh $k=7$ akan sulit, karena mengerjakan pembedahan yang optimal untuk lingkaran akan menjadi jauh lebih rumit.)

Edit: Dengan mengambil jari-jari di$72^\circ$ sudut pada segi enam biasa (dengan satu jeruji bertemu segi enam di titik tengah sisi), saya pikir saya bisa mendapatkan batas atas yang sedikit lebih baik dari sekitar $0.6434$ untuk kasus ini $k=5$. Mengoptimalkan penempatan ruji lebih jauh (sehingga jarak antara titik akhir ruji sama) membuat saya berkeliling$0.6223$.

Pada batasnya, saya pikir diameter setiap bagian tidak bergejala $\sqrt{\frac{2\pi}{3\sqrt{3}k}}\approx \frac{1.1}{\sqrt{k}}$dengan ubin dengan segi enam biasa. Tentu saja tidak ada yang bisa lebih baik dari itu$1/\sqrt{k}$saat membagi lingkaran, menggunakan pertidaksamaan isodiametrik (jika potongannya lebih kecil, luasnya terlalu kecil). Menggunakan pembedahan trivial dari bujur sangkar, salah satunya juga memiliki batas atas$\frac{\sqrt{2}}{\lceil\sqrt{k}\rceil}$.

Beberapa pertanyaan yang saya miliki tentang masalah ini:

• Apakah pertanyaan ini pernah diteliti sebelumnya dalam literatur? Jika ya, apa yang diketahui?

• Apakah ada $k$ di mana lingkaran tidak menyajikan skenario terburuk untuk diseksi?

• Bisakah $k=5,6$batas atas ditingkatkan secara substansial? Saya pikir menggunakan solusi Pal yang sedikit lebih kecil untuk masalah penutup universal akan memungkinkan beberapa penyesuaian saat$k=6$, tapi belum mengetahui detailnya.

Answer 1

berapa diameter minimum yang dapat dipastikan saat memotong satu set planar diameter unit $k$ potongan?

Masalah ini dipertimbangkan pada tahun 1974 dalam Soal 102 dari [SCY], di mana diameter minimum dilambangkan $\delta_2(k)$. Sayangnya, ada batasan yang diberikan tidak lebih dari pada pertanyaan Anda. Alat utama untuk evaluasi$\delta_2(k)$ ada $\delta(k, A)$, diameter minimum yang dapat dipastikan saat memotong set planar $A$ dari diameter unit menjadi $k$potongan. Spesial untuk$S$ kasus adalah disk $D$, sebuah persegi $S$, dan segitiga sama sisi $T$. Dalam Masalah 103 dan tabel di hal. 97 (dirujuk ke kertas [Gra] dari tahun 1967) batas$\delta(k, A)$ ditampilkan untuk $D$ untuk $k\le 5$, untuk $T$ dan $k\le 10$, dan untuk $S$ dan $k\le 4$. Juga di [Gra] dievaluasi$\delta(k, T)$ untuk $k\le 15$. Ketika saya masih sekolah, pada tahun 1991 saya membaca artikel [KK] yang menghitungnya$\delta(2,S)=\tfrac {\sqrt{10}}4$, $\delta(3,S)=\tfrac {\sqrt{130}}{16}=0.712\dots$, dan $\delta(5,S)=\tfrac {5\sqrt{34}}{64}=0.455\dots$, Menemukan batas atas $0.4200\dots$ di $\delta(6, S)$, dan mencatat itu $\delta(k, D)$ untuk $k\ge 8$ dan $\delta(k,T)$ untuk $k\ge 16$tidak diketahui. Pada halaman 96 dan 98 tertulis pemikiran yang agak pesimis tentang pendekatan ini dan pada Soal 104 ditunjukkan nilai-nilai$\delta_2(2)$, $\delta_2(3)$, $\delta_2(4)$, dan $\delta_2(7)$, yang sudah Anda ketahui. Tidak ada nilai pasti lainnya untuk$\delta_2(k)$ kapan $k\ge 2$dikenal. Nilai dari$\delta_2(3)$, sebenarnya, ditemukan oleh Borsuk [Bor1, Bor2] pada tahun 1932–1933 (lihat juga [Gal]). Pada tahun 1956, seorang ahli geologi Jerman Lenz [Len1, Len2] mempelajari nilai secara menyeluruh$\delta_2(k)$ untuk kecil $k$ dan dihitung $\delta_2(4)$, $\delta_2(5)$ dan $\delta_2(7)$. Nilai dari$\delta_2(4)$ditemukan juga oleh Selfridge [Sel]. Dalam [Gru] diamati bahwa jika$G_{11}$ biasa $11$-gon diameter $1$ kemudian $\delta_2(6)\ge \delta(6, G_{11})=\frac 1{2\cos (\pi/22)}=0.505141\dots$.

Sayangnya, saya tidak bisa bahasa Jerman, tapi saya rasa di [Len1] di hlm. 34 disediakan batas$\delta_2(k)\le\tfrac {\sqrt{2}}{\lfloor \sqrt{k}\rfloor}$ untuk $k\ge 2$ dan $\delta_2(k)<\tfrac 1{k-8\pi/\sqrt{27}}\left\lfloor\tfrac {4\pi}{\sqrt{27}}+\sqrt{\tfrac{2\pi k}{\sqrt{27}} }\right\rfloor$ untuk $k\ge 5$, dan di p. 36 terikat$\delta_2(k)\le\tfrac 1{k-1}\left(\tfrac {2}{\sqrt{3}}+\sqrt{\tfrac 43+ \frac{2\pi}{\sqrt{27}}(k-1) }\right)$. Kedua batasan terakhir itu tentang$\sqrt{\frac{2\pi}{\sqrt{27}}}k^{-1/2}\approx 1.1 k^{-1/2}$.

Tetapi referensi ini sudah tua dan beberapa kemajuan dapat dibuat sejak saat itu.

Kita harus melakukannya $\delta_2(k)\approx \sqrt{\frac{2\pi}{\sqrt{27}}}k^{-1/2}$ tanpa gejala, lihat di bawah.

Batas bawah. Diberikan$k$, Prinsip Pigeonhole menyiratkan $\delta_2(k)\ge d(k+1)/2$, dimana $d(k+1)$ menjadi jarak minimum semaksimal mungkin antara $k+1$poin dari unit disk, lihat utas ini . Pendekatan ini harus memberikan batasan asimtotik$\delta_2(k)\ge\approx \sqrt{\tfrac {2\pi}{3\sqrt{3}k}}\approx 1.1 k^{-1/2}$.

Batas atas. Membiarkan$C$ a menjadi bagian (tidak harus cembung) dari bidang yang berisi salinan kongruen dari setiap set planar diameter unit dan $a$ menjadi area $S$. Batas paling terkenal untuk$a$ tentang $0.8441$, lihat utas tentang pencarian yang sulit dan tidak berterima kasih untuk mereka. Jika$C$ dapat ditutupi oleh $k$ sel dari kisi heksagonal dengan sisi $d$ kemudian $\delta_2(k)\le 2d$. Pendekatan ini harus memberikan batasan asimtotik$\delta_2(k)\le\approx 2\sqrt{\tfrac {2a}{3\sqrt{3}k}}\approx 1.14 k^{-1/2}$.

Tetapi batasan Lenz menyarankan bahwa kita tidak perlu menggunakan set penutup universal, karena pada halaman 11 [Lit] ditunjukkan bahwa “area dengan diameter (terbesar) tidak lebih dari $1$ paling banyak $\tfrac{\pi}4$".

Pengamatan ini harus mengarah pada batas atas yang ketat secara asimtotik.

Referensi

[Bor1] K. Borsuk, Über die Zerlegung einer euklidischen$n$-dimensionalen Vollkugel in $n$Mengen , Magang Verhandlungen. Matematika. Kongr., Zürich 2 (1932) 192.

[Bor2] K. Borsuk, Drei Sätze über mati$n$Ruang -dimensi , Fundamenta Math. 20 (1933), 177–190.

[Gal] D. Gale, Tentang menulis$n$set -dimensi adalah reguler $n$-simplex , Proc. Amer. Matematika. Soc. 4 (1953) 222–225.

[Gra] RL Graham, Pada partisi dari segitiga sama sisi , Jurnal Kanada. Matematika. 19 (1967) 394–409.

[Gru] B. Grünbaum, Etudes dalam geometri kombinatorial dan teori benda cembung , Moskow, Nauka, 1971, dalam bahasa Rusia.

[KK] I. Kokorev, L. Kurlyandchik, Kue besar di piring kecil , Kvant 7 (1991) 13-17.

[Len1] H. Lenz, Über die Bedeckung ebener Punktmengen durch solche kleineren Durchmessers , Archiv Math. 7 (1956) 34–40, doi: 10.1007 / bf01900521.

[Len2] H. Lenz, Zerlegung ebener Bereiche di konvexe Zellen von möglichst kleinem Durchmessers , Jahresber. Deutsch. Matematika. Vereinigung 58 (1956) 87–97.

[Lit] JE Littelwood, A Mathematician's Miscellany , Methued & Co, London, pertama kali diterbitkan pada tahun 1953.

[SCY] DO Shklyarskiy, NN Chentsov, IM Yaglom, Estimasi geometris dan masalah geometri kombinatorial , Moskow, Nauka, 1974, dalam bahasa Rusia.

[Sel] JL Selfridge, Seminar informal tentang sampul set cembung (Report of the Inst. In the Theory of Numbers), Colorado, 1959. 334.