Menghitung Cincin Grup $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ untuk sebuah Field $k$ Karakteristik $0$
Pertimbangkan sebuah bidang $k$ karakteristik $0$ dan bilangan bulat positif $n.$Dalam pembuktian Teorema 4.19 tentang Polytopes, Rings, dan K-Theory karya Bruns dan Gubeladze disebutkan bahwa kita memiliki isomorfisme.$k[\mathbb Z / n \mathbb Z] \cong k[x] / (x^n - 1),$ dimana $k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ adalah cincin grup yang sesuai dengan grup siklik dari bilangan bulat modulo $n;$namun, saya kesulitan meyakinkan diri sendiri tentang hal ini. Saya percaya bahwa$k$-aljabar homomorfisme $\varphi : k[x] \to k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$ disebabkan oleh penugasan $x^m \mapsto \overline m$ bersifat dugaan, di mana kami menunjukkan $\overline m = m \text{ (mod } n),$ jadi saya ingin menunjukkan itu $\ker \varphi = (x^n - 1),$ tapi saya belum bisa melakukan ini.
Setelah ini ditetapkan, saya menyadari bahwa (sebagai $k$ memiliki karakteristik $0$) kita punya itu $x^n - 1 = \prod_{d \,|\, n} \Phi_d(x),$ dimana $\Phi_d(x)$ adalah $d$polinomial siklotomik. Akibatnya, polinomial$x^n - 1$terbagi menjadi produk dari polinomial tak tersederhanakan yang relatif prima; oleh karena itu, penulis mengklaim itu$k[\mathbb Z / n \mathbb Z]$adalah produk tensor domain. Tapi saya tidak mengerti bagaimana caranya$k[x] / (x^n - 1) \cong \otimes_{d \,|\, n} k[x] / (\Phi_d(x)),$ jika memang demikian yang penulis tegaskan.
Saya akan sangat menghargai setiap wawasan, komentar, atau saran. Terima kasih.
Jawaban
Tentang pertanyaan pertama. Kernel berisi$x^n-1$. Cincin polinomial adalah PID sehingga kernel dihasilkan oleh polinomial$f(x)$. Kemudian sisanya$r(x)$ dari $f$ jika dibagi $x^n-1$harus menjadi milik kernel. Bahwa$r(x)$ memiliki gelar $<n$. Aljabar linier mudah kemudian menunjukkan hal itu$r$ aku s $0$. Karenanya kernel dihasilkan oleh$x^n-1$.