Menghitung genus kurva di atas $\mathbb Q$
Saya mencoba menghitung genus kurva di atas bidang tertutup non-aljabar melalui Riemann-Hurwitz.
Membiarkan $K = \mathbb Q(t)$ dengan $t$ transendental, dan biarkan $F$ menjadi perpanjangan dari $K$ diperoleh dengan menghubungkan root $$f(x) = x^2 - (t^2 - 10t - 5)$$
Sejak $K$dikaitkan dengan ruang proyektif, ia memiliki genus nol. Membiarkan$g$ menjadi genus kurva halus dengan bidang fungsi isomorfik ke $F$. Kemudian Riemann-Hurwitz mengatakan itu $$2g -2 = 2*(-2) + \sum_{P} e_P - 1$$ $$g = -1 + \frac 12 \sum_{P} e_P - 1$$
Dari diskriminan, sepertinya kurva bercabang di dua titik, $\infty$ dan $(t^2 - 10t - 5)$ dengan indeks percabangan $2$setiap. Ini memberi$g=0$.
Jika saya mendasarkan perubahan ke $\mathbb Q(\alpha)$ dimana $\alpha$ adalah akar dari $t^2 - 10t - 5$, tampaknya peta tersebut sekarang akan bercabang di tiga titik: $\infty$, $t-\alpha$, dan $t-\alpha'$, konjugasi dari $\alpha$, semuanya dengan indeks $2$. Tapi itu akan menjadi genus$1/2$ yang tidak masuk akal, di atas fakta bahwa saya pikir genus adalah invarian geometris.
Mengapa keduanya tampaknya bekerja secara berbeda, dan terutama apa yang salah dengan penghitungan terakhir?
Jawaban
Berikut pernyataan Teorema Riemann-Hurwitz yang saya singgung di kolom komentar. (Rosen, Teori Bilangan dalam Bidang Fungsi , Teorema 7.16, hal.90).
Dalil. Membiarkan$L/K$menjadi ekstensi geometris bidang fungsi yang terbatas, dapat dipisahkan. Kemudian $$ \DeclareMathOperator{\D}{\mathfrak{D}} \DeclareMathOperator{\P}{\mathfrak{P}} 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \deg_L(\D_{L/K}) $$ dimana $\mathfrak{D}_{L/K}$ adalah cita-cita yang berbeda.
Jika semua bilangan prima bercabang $L$ bercabang halus (yang terjadi di sini karena bidang tanah memiliki karakteristik $0$), kemudian $\D_{L/K} = \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \P$, sehingga rumusnya menjadi $$ 2g_L - 2 = [L:K] (2g_K - 2) + \sum_{\P} (e(\P/P) - 1) \deg_L(\P) \, . $$
Beralih ke teladan Anda, kesalahan Anda adalah itu $F$ tidak bercabang di atas $\infty$. Cara geometris untuk melihatnya adalah sebagai berikut. Menyeragamkan definisi kurva$F$, kami mendapatkan kurva $C: X^2 - (Y^2 - 10YZ - 5Z^2) = 0$, dimana $x = X/Z$ dan $t = Y/Z$, dan kami sedang mempertimbangkan peta $\pi: C \to \mathbb{P}^1$, $[X:Y:Z] \mapsto [Y:Z]$. Untuk menghitung$\pi^{-1}([1:0])$, kami pasang $Z = 0$ ke dalam persamaan untuk $C$, memperoleh $$ 0 = X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y) $$ begitu $\pi^{-1}([1:0]) = \{[1:1:0], [1:-1:0]\}$. Sejak$\sum_i e_i f_i = 2$ oleh identitas fundamental, kemudian $f_i = e_i = 1$, jadi $\pi$ tidak dibatasi di atas $\infty$.
Untuk pendekatan teori bidang fungsi lainnya, biarkan $s = 1/t$ dan $r = x/t = xs$. Kemudian urutan maksimal$F$ di tak terbatas $R := \frac{\mathbb{Q}[r,s]}{(r^2 - (1 - 10s - 5s^2))}$. Untuk menentukan pemisahan di atas$\infty$, kami memeriksa caranya $sR$faktor. Menggunakan definisi persamaan$R$, kami temukan $sR = (r-1,s)(r+1,s)$, dan bilangan prima ini berbeda, jadi $F$ tidak dibatasi di atas $(s)$.
Membiarkan $\P = (x)$ dan $P = (t^2 - 10t - 5)$. Bidang residu dari$\P = (x)$adalah \ begin {align *} \ frac {\ mathbb {Q} [t, x] / (x ^ 2 - (t ^ 2 - 10t - 5))} {(x)} \ cong \ frac {\ mathbb { Q} [t]} {(t ^ 2 - 10t - 5)} \ end {align *} yang berdimensi$2$ sebagai $\mathbb{Q}$ruang -vektor, jadi $\deg_L(\P) = 2$.
Menerapkan Riemann-Hurwitz, kami memiliki \ begin {align *} 2g_L - 2 = 2 (2 \ cdot 0 - 2) + (e (\ P / P) - 1) \ deg_L (\ P) = -4 + (2 -1) \ cdot 2 = -2 \ end {align *} jadi$g_L = 0$, seperti yang kami harapkan.