Menghitung integral 2 variabel - mengganti urutan integrasi
Saya harus menghitung integral ini:
$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$
Karena kita belum belajar menghitung $\int e^{a}{x} dx$ (karena memiliki sesuatu dengan fungsi gamma dll ..) itu membuat saya hanya memikirkan satu pilihan dan membalik $dx \Leftrightarrow dy$
$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$
dan dengan demikian $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$
Yang lagi membawa saya ke fungsi gamma ini .. ($\Gamma$...) dan kami tidak tahu cara mengatasinya (tidak dalam silabus kami)
Bantuan apa pun akan dihargai !! Terima kasih!
Jawaban
Anda benar untuk mengubah urutan integrasi.
Perhatikan bahwa wilayah integrasi membentang dari $\sqrt y\le x\le 1$ dengan $y\in [0,1]$. Ini adalah wilayah yang sama dengan wilayah tersebut$0\le y\le x^2$ dengan $x\in [0,1]$. Oleh karena itu, kami punya
$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$
Dan sekarang Anda bisa menyelesaikannya.