Menghitung integral 2 variabel - mengganti urutan integrasi

Aug 18 2020

Saya harus menghitung integral ini:

$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$

Karena kita belum belajar menghitung $\int e^{a}{x} dx$ (karena memiliki sesuatu dengan fungsi gamma dll ..) itu membuat saya hanya memikirkan satu pilihan dan membalik $dx \Leftrightarrow dy$

$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$

dan dengan demikian $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$

Yang lagi membawa saya ke fungsi gamma ini .. ($\Gamma$...) dan kami tidak tahu cara mengatasinya (tidak dalam silabus kami)

Bantuan apa pun akan dihargai !! Terima kasih!

Jawaban

3 MarkViola Aug 18 2020 at 19:33

Anda benar untuk mengubah urutan integrasi.

Perhatikan bahwa wilayah integrasi membentang dari $\sqrt y\le x\le 1$ dengan $y\in [0,1]$. Ini adalah wilayah yang sama dengan wilayah tersebut$0\le y\le x^2$ dengan $x\in [0,1]$. Oleh karena itu, kami punya

$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$

Dan sekarang Anda bisa menyelesaikannya.