Mengubah arah integrasi

Aug 17 2020

Saya perlu mengubah arah integral:

$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$

Dari apa yang saya tahu, pertama-tama saya perlu menemukan bentuknya:

$0.5y^2 = x$ dan $\sqrt{3-y^2} =x$

Bentuk I adalah parabola: $y^2 = 2x$
Bentuk II adalah lingkaran $x^2 + y^2 = 3$ (radius $\sqrt{3}$)

Jadi pada dasarnya kita menggambar panah horizontal dari parabola ke lingkaran sementara kita tetap $0 \leq y \leq 1$.

Sesuatu yang terlihat sangat mirip dengan gambar ini:

Kita perlu menggambar garis vertikal, jadi terlihat seperti ini, tapi kita punya 3 area:

  1. Dimana kita memukul parabola (merah)
  2. Dimana kita mencapai garis $y=1$ (hijau)
  3. Dimana kita memukul lingkaran (biru)

Jadi jawaban terakhir saya adalah:

$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$

Apakah saya sejauh ini benar? Jika saya tidak, lalu bagaimana cara memperbaikinya? Saya merasa mandek karena saya tidak tahu bagaimana melanjutkan ... Saya sangat menghargai bantuan Anda! Terima kasih!

Jawaban

2 SiongThyeGoh Aug 19 2020 at 19:14

Apa yang Anda lakukan benar. Kamu selesai.

Memeriksa pekerjaan Anda, $y=1$ memotong $0.5y^2=x$ di $x=0.5$. (ini sesuai dengan wilayah oranye.$0.5y^2=x$ setara dengan $y=\sqrt{2x}$ kapan $y>0$.

Juga, $y=1$ memotong $\sqrt{3-y^2}=x$ di $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ setara dengan $y=\sqrt{3-x^2}$ kapan $y>0$.

Batas bawah selalu $y=0$.

Anda juga bisa mengekspresikannya secara kompak seperti

$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$

Evaluasi lebih lanjut tergantung pada rincian $f$. Salah satu motivasi yang mungkin untuk melakukan perubahan tatanan integral adalah yang berbentuk$f$ lebih mudah diintegrasikan dalam urutan tertentu.

Keterangan: Bergantung pada komunitas Anda, beberapa menulisnya sebagai

$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$