Mengubah arah integrasi
Saya perlu mengubah arah integral:
$$ \int_0^1 dy \int_{0.5y^2}^{\sqrt{3-y^2}} fdx$$
Dari apa yang saya tahu, pertama-tama saya perlu menemukan bentuknya:
$0.5y^2 = x$ dan $\sqrt{3-y^2} =x$
Bentuk I adalah parabola: $y^2 = 2x$
Bentuk II adalah lingkaran $x^2 + y^2 = 3$ (radius $\sqrt{3}$)
Jadi pada dasarnya kita menggambar panah horizontal dari parabola ke lingkaran sementara kita tetap $0 \leq y \leq 1$.
Sesuatu yang terlihat sangat mirip dengan gambar ini:

Kita perlu menggambar garis vertikal, jadi terlihat seperti ini, tapi kita punya 3 area:
- Dimana kita memukul parabola (merah)
- Dimana kita mencapai garis $y=1$ (hijau)
- Dimana kita memukul lingkaran (biru)

Jadi jawaban terakhir saya adalah:
$$ \int_0^{0.5} dx \int_0^{\sqrt{2x}} fdy + \int_{0.5}^{\sqrt{2}} dx \int_0^1 fdy + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} dx \int_0^{\sqrt{3-x^2}} fdy$$
Apakah saya sejauh ini benar? Jika saya tidak, lalu bagaimana cara memperbaikinya? Saya merasa mandek karena saya tidak tahu bagaimana melanjutkan ... Saya sangat menghargai bantuan Anda! Terima kasih!
Jawaban
Apa yang Anda lakukan benar. Kamu selesai.
Memeriksa pekerjaan Anda, $y=1$ memotong $0.5y^2=x$ di $x=0.5$. (ini sesuai dengan wilayah oranye.$0.5y^2=x$ setara dengan $y=\sqrt{2x}$ kapan $y>0$.
Juga, $y=1$ memotong $\sqrt{3-y^2}=x$ di $x=\sqrt2$. $\sqrt{3-y^2}=x$ setara dengan $y=\sqrt{3-x^2}$ kapan $y>0$.
Batas bawah selalu $y=0$.
Anda juga bisa mengekspresikannya secara kompak seperti
$$\int_0^{\sqrt3}\, dx \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy$$
Evaluasi lebih lanjut tergantung pada rincian $f$. Salah satu motivasi yang mungkin untuk melakukan perubahan tatanan integral adalah yang berbentuk$f$ lebih mudah diintegrasikan dalam urutan tertentu.
Keterangan: Bergantung pada komunitas Anda, beberapa menulisnya sebagai
$$\int_0^{\sqrt3} \int_0^{\min(\sqrt{2x}, 1, \sqrt{3-x^2})}f\, dy \, dx$$