Menguraikan operator nomor eksponensial dan operator pembuatan dan pemusnahan

Question

Adakah cara untuk menguraikan eksponensial dari jumlah bilangan tersebut, pemusnahan dan operator penciptaan? Sebagai contoh,

$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$

dimana $G$, $A$, dan $B$ adalah masing-masing fungsi dari kemungkinan ketiga parameter tersebut $\alpha$, $\beta$, dan $\gamma$.

Answer 1

Bukan jawaban, tetapi komentar tambahan tentang pendekatan Anda yang pada dasarnya masuk akal, karena format komentar tidak mengizinkan komentar yang diperpanjang seperti itu. Grup yang terlibat adalah grup osilator , dan perwakilan 3d yang Anda temukan adalah grup yang setia, jadi setiap relasi grup untuknya juga akan berlaku untuk grup abstrak secara umum, jadi, semua representasi ! Saya akan memanggil elemen sentral Anda C dari jawaban Anda Z , dan itu dapat menyaring semua ekspresi, melakukan perjalanan dengan segalanya.

Pernyataan umum yang didukung oleh teorema Lie adalah bahwa produk dari semua elemen grup akan mendekati eksponensial dari beberapa kombinasi linier dari semua generator dalam aljabar Lie , jadi, kemudian,$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$Namun, karena Z melakukan perjalanan dengan semuanya, kita dapat membalikkan faktor pertama dari lh ke kanan, dan memasukkannya ke dalam parameter baru.$\phi'-\theta=\phi$, maka $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ dimana parameternya $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ dijamin akan berfungsi $G,A,B$.

Sekarang, dengan nilpotensi dari tiga generator pertama, dan secara diagonal dari keempat, lhside dengan mudah mengevaluasi $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ dengan determinan $e^{A/2}$.

Ini harus sama $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ Determinannya adalah $e^{\alpha/2}$ dengan identitas $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$.

Sekarang, ke urutan kedua dalam parameternya, ia diperluas ke $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$

Membandingkan dengan lhside di atas, untuk urutan kedua, $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ tapi kemudian Anda menyadari entri paling kanan atas tidak cocok, dan membutuhkan non-menghilang $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$untuk mengisi kekosongan. Seseorang harus pergi ke urutan kedua untuk melihat ini, karena Anda membutuhkan setidaknya satu pergantian$[a,a^\dagger]$ untuk menghasilkan elemen pusat.

Sehingga kemudian, $\phi$sebenarnya penting dalam ekspresi Anda yang telah diubah (*): ini bukanlah derajat kebebasan yang dapat diabaikan. Mohon maaf (dengan Pascal) karena kurangnya waktu untuk mempersingkat komentar.

Answer 2

Saya rasa saya telah menemukan metode menggunakan jawaban atas dua pertanyaan ini:

https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator

Bagaimana cara kerja penguraian dan penataan ulang operator eksponensial?

Kita dapat memetakan matriks berikut ke operator ladder:

$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$

Matriks A, B, C, D memenuhi hubungan pergantian operator ladder. Kemudian evaluasi sisi kiri dan sisi kanan menggunakan matriks dan koefisien pencocokan ini. Tampaknya berhasil, tetapi saya ingin beberapa konfirmasi bahwa ini adalah pendekatan yang tepat karena saya tidak memiliki pengalaman dengan aljabar kebohongan.