Menyematkan secara konstruktif $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ ke $\mathbb{R}$

Question

Menggunakan aksioma pilihan dapat dibuktikan $\mathbb{R}$ isomorfik untuk $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ sebagai ruang vektor berakhir $\mathbb{Q}$. (Dengan asumsi AC, kedua ruang memiliki basis Hamel$\mathbb{Q}$ dari kardinalitas yang sama dan dengan demikian isomorfik.)

Jadi pertanyaan saya adalah apakah ada isomorfisme di antara keduanya $\mathbb{R}$ dan $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ dapat dibangun tanpa AC atau, setidaknya, apakah kami dapat menyematkannya $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$ ke $\mathbb{R}$tanpa AC. (Dengan menyematkan maksud saya membuat suntikan$\mathbb{Q}$peta -linear dari satu ruang ke ruang lain.)

Yang terakhir ini sama dengan menanyakan apakah kita dapat membangun subruang $\mathbb{R}$ yang memiliki dasar schauder atas $\mathbb{Q}$, karena subruang seperti itu secara otomatis harus isomorfik ke $\mathbb{Q}^\mathbb{N}$.

Terima kasih untuk bantuannya!

Answer 1

Faktanya itu konsisten dengan ZF bahwa tidak ada homomorfisme nontrivial $\mathbb{R} \to \mathbb{Q}$. Mengutip dari jawaban sebelumnya di mana ini muncul:

Ada model ZF yang dibuat oleh Shelah di mana setiap rangkaian bilangan real memiliki properti Baire . Ini menyiratkan, jika saya mengerti dengan benar, bahwa tidak ada homomorfisme bukan nol dari$\mathbb{R}$ke grup abelian yang dapat dihitung (karena grup abelian yang dapat dihitung dengan topologi diskrit adalah grup Polandia , jadi dalam model ini setiap homomorfisme dari$\mathbb{R}$ke grup seperti itu secara otomatis dapat diukur dan secara otomatis berkelanjutan). Begitu$\mathbb{R}$, dan $SO(2)$, tidak memiliki subkelompok indeks yang dapat dihitung dalam model ini.

Ini tidak mengesampingkan kemungkinan penyematan eksplisit $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$; Saya tidak yakin satu atau lain cara apakah hal seperti itu ada tetapi di luar kepala saya, saya yakin tidak. Saya berani bertaruh itu konsisten dengan ZF bahwa setiap peta linier$\mathbb{Q}^{\mathbb{N}} \to \mathbb{R}$ faktor melalui proyeksi ke beberapa subset faktor yang terbatas.