Menyusun isomorfisme antara dua bidang berhingga berorde 25.

Question

Bidang yang dimaksud adalah \ begin {persamaan *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1), \ \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {persamaan *} Saya tahu bahwa ada isomorfisme antara bidang di atas karena bidang tersebut berhingga dengan urutan yang sama. Ide saya adalah menemukan generator dari grup unit setiap bidang, dan membangun isomorfisme dengan memetakan satu generator ke generator lainnya.

Saya menemukan itu $x+2$ menghasilkan $(\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1))^{\times}$ dan $1+\sqrt{2}$ menghasilkan $\mathbb{F}_5(\sqrt{2})^{\times}.$ Lalu, panggil peta $\varphi$, Saya kirim $x+2$ untuk $1+\sqrt{2}$ yang memberi, setelah mengatur ulang, $\varphi(x)=\sqrt{2}+4$ di mana saya juga menggunakan bahwa isomorfisme apa pun akan memperbaiki bidang dasar $\mathbb{F}_5$. Masalahnya adalah peta itu\begin{align*} \varphi:&\mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1)\longrightarrow \mathbb{F}_5(\sqrt{2})\\ &a+bx \mapsto a+4b+b\sqrt{2} \end{align*} tidak memuaskan $\varphi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)$ untuk semua $f,g \in \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1).$ Apakah ini karena pendekatan umum tidak benar?

Answer 1

Kami memperhatikan itu $\omega$, akar persatuan ketiga primitif, memiliki polinomial minimum $f(x)=x^2+x+1 \in \mathbb{F}_5[x]$. Sebagai$\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2},$ ini memberikan isomorfisme berikut $\varphi:$ \begin{align*} \varphi: \mathbb{F}_5[x]/(x^2+x+1) &\longrightarrow \mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})\\ g(x)&\longmapsto g(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}). \end{align*} Namun, $-3=2 \in \mathbb{F}_5$ dan $\mathbb{F}_5(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2})=\mathbb{F}_5(\sqrt{-3})$jadi \ begin {persamaan *} \ mathbb {F} _5 [x] / (x ^ 2 + x + 1) \ cong \ mathbb {F} _5 (\ frac {-1+ \ sqrt {-3}} {2 }) = \ mathbb {F} _5 (\ sqrt {2}). \ end {persamaan *}