Momen jumlah pembagi terbatas interval

Question

Saya sebelumnya telah menanyakan pertanyaan A penjumlahan fungsi pembagi terpotong dimana jumlahnya$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ menarik, dan dijawab dengan memuaskan.

Di sini, saya tertarik untuk memperkirakan kuantitas berikut $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ sehingga pembagi dibatasi ukurannya, atau dibatasi pada interval $[1,m]$ bukan di `` angka '' seperti pada (1).

Kapan $a=1,$ ini sangat mudah (sejauh mendapatkan istilah utama), karena jumlahnya dapat dievaluasi secara horizontal $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ dan biasanya saya tertarik pada nilai yang relatif kecil $m$ istilah dari $x$.

Bagaimana dengan $a\neq 1$? Khususnya,$a=1/2,$ atau $a=2,3,$ dll. Bagaimana cara memperkirakan jumlah tersebut?

Answer 1

Kami berasumsi $m\leq x$. Anda$S_1(x,m)$ sebenarnya, $x\log m + O(m)$.

Jawaban ini menemukan perkiraan $S_2(x,m)$.

$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ dimana $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$.

Untuk menemukan perkiraan jumlah pertama, mari $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ dimana $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, kami menulis $d_1=dk$, $d_2=dl$ dengan $(k,l)=1$. Untuk membangun$(k,l)=1$, kami menggunakan identitas $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, dimana $\delta_1(n)=1$ kapan $n=1$, $0$jika tidak. Kemudian$k=uv$, $l=uw$, yang seperti itu $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$. Kemudian

$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ Karenanya, $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$

Kami mungkin bisa mendapatkan $S_a(x,m)$dengan metode yang sama. Namun, penjumlahan yang dihasilkan lebih rumit.