$\mu(A_n \Delta B_n)=0$ untuk semua $n.$

Aug 18 2020

Membiarkan $(X,S,\mu)$ ruang ukur, dan biarkan, $(A_n), (B_n)$ dua urutan elemen S. If $\mu(A_n \Delta B_n)=0$ untuk semua n buktikan, berikut ini adalah $\mu-$set nol ($\mu(E)=0$ untuk $E\in$S):

saya) $\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$.

ii) $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$.

aku aku aku) $\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$.

iv) $\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$.

Untuk (i) saya buktikan itu $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, karena $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$ dan $B_n-A_n$, $A_n-B_n$ jadi terputus-putus $\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$ untuk semua n, tapi $\mu$ tidak ada yang negatif, kalau begitu $\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$.

Untuk (ii) saya menggunakan itu $({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$ kemudian $\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$.

Tetapi untuk (iii) dan (iv) saya tidak yakin.

Jawaban

1 CzylabsonAsa Aug 18 2020 at 03:48

Kami membutuhkan beberapa identitas umum:

Membiarkan $K$satu set indeks. Kemudian:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$ Identitas pertama: Jika $a\in \bigcup_{k\in K} X_k$ tapi $a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$, kemudian $a\in X_{k_0}$ dan $a\notin Y_{k_0}$, jadi $a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, untuk beberapa $k_0\in K$. Kasus lainnya serupa.

Kedua: definisi perbedaan himpunan.

Ketiga: terapkan yang pertama dan kedua dan De-Morgan

Menjawab (i) dan (ii) adalah aplikasi sederhana dari id di atas + $\sigma$-subadditivity ukuran.

Untuk (iii): set $X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$ dan $Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$. Kemudian$X_n \triangle Y_n$ adalah himpunan null: ia ditutupi oleh gabungan himpunan null: $X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$, dengan identitas pertama.

Sekarang, hubungannya $\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$ menyiratkan hal yang sama $\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$.

Itu $\underline{\lim}$ kasus hampir identik.