Mungkinkah itu $2^{2A}+2^{2B}$ itu bilangan kuadrat?
Misalkan A dan B adalah dua bilangan bulat positif yang lebih besar dari $0$. Mungkinkah itu$2^{2A}+2^{2B}$ itu bilangan kuadrat?
Saya mengalami kesulitan dengan latihan ini karena saya merasa jawabannya adalah tidak, tetapi saya tidak dapat menjelaskan lebih lanjut buktinya. Sejauh ini yang saya pikirkan adalah berasumsi bahwa ada beberapa bilangan bulat$C>0$ seperti yang $2^{2A}+2^{2B}=C^2$. Kemudian$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$Saya mencoba untuk melihat apakah ungkapan sebelumnya dapat mengandung kontradiksi tetapi saya terjebak. Yang bisa saya temukan hanyalah itu$C$perlu bilangan genap tetapi itu tidak membawa saya ke mana pun. Saya menghargai bantuan apa pun.
Terima kasih sebelumnya!
Jawaban
Tanpa kehilangan keumuman, biarkan $A>B$. Kemudian$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ adalah persegi menyiratkan $2^{2A-2B}+1$ adalah persegi sebagai $2^{2B}$adalah persegi. Tapi ini tidak mungkin sejak itu$2^{2A-2B}$ adalah persegi.
Jawaban Shubhrajit Bhattacharya memberikan bukti langsung yang sederhana $2^{2A}+2^{2B}$tidak bisa menjadi persegi. Tapi hanya untuk bersenang-senang, mari kita selesaikan pendekatan OP (yang awalnya saya pikir mengarah ke jalan buntu).
Jika $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$, kemudian $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$, yang artinya $2^A+2^B+C$ dan $2^A+2^B-C$ keduanya adalah kekuatan $2$, dan kekuatan yang jelas berbeda dari$2$, katakanlah $2^a$ dan $2^b$ dengan $a\gt b$ dan $a+b=A+B+1$. Tapi ini menyiratkan
$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$
Jika sekarang kita berasumsi, tanpa kehilangan keumuman, itu $A\ge B$, kita punya
$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$
Sekarang $a\gt b$ menyiratkan $2^{a-b}+1$ adalah bilangan ganjil yang lebih besar dari $1$, Dari situlah kita harus memiliki $A\gt B$ (jika tidak, sisi kiri adalah kekuatan $2$, bukan kelipatan bilangan ganjil yang lebih besar dari $1$). Ini pada gilirannya menyiratkan$b=B+1$ dan $a-b=A-B$, dari mana kami mendapatkan
$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$
bertentangan dengan $a+b=A+B+1$.
Catatan: Saya sedikit terkejut dengan sifat kontradiksi di sini, dan harus memeriksa pekerjaan saya dengan hati-hati untuk memastikan saya tidak membuat kesalahan aritmatika yang bodoh.
Lakukan saja.
Asumsikan tanpa kehilangan keumuman itu $A \le B$ begitu
$2^{2A} + 2^{2B}=$
$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$
$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$
$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.
Jadi jika itu adalah kuadrat sempurna maka kita harus memilikinya $(2^{B-A})^2 + 1$ menjadi kotak yang sempurna.
Tapi $(2^{B-A})^2$adalah kuadrat sempurna sehingga kita memiliki dua kuadrat sempurna yang berurutan. Mudah untuk meyakinkan diri sendiri bahwa satu-satunya saat yang pernah terjadi adalah$0^2$ dan $1^2$. (Bukti sebagai tambahan).
Jadi satu-satunya cara ini bisa terjadi adalah jika $(2^{B-A})^2 = 0$ dan $(2^{B-A})^2 + 1=1$.
Tapi $2^{B-A} = 0$ itu tidak mungkin.
====
Tambahan: Maka hanya dua kotak yang berurutan $0$ dan $1$.
Bukti: Misalkan $m^2 = n^2 + 1$. dimana$m,n$ adalah bilangan bulat non-negatif. $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ begitu $n < m \le m+1$. Tapi satu-satunya bilangan bulat antara$n$ (eksklusif) dan $n+1$ (inklusif) adalah $n+1$ begitu $m = n+1$. Sehingga$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ begitu $2n = 0$ dan $n = 0$ dan $m =1$.
Asumsikan bahwa $2^{2A}+2^{2B}$adalah kotak yang sempurna. Tanpa kehilangan keumuman, asumsikan$A \geqslant B$. Kalau begitu, biarkan$A-B=x$, dimana $x$adalah bilangan bulat non-negatif. Berikut yang kami miliki:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$Sekarang, jika Kiri adalah kuadrat sempurna, maka Kanan juga harus kuadrat sempurna. Ini mengikuti itu$2^{2x}+1$adalah kotak yang sempurna. Biarkan ini terjadi$n^2$. Kami kemudian memiliki:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ Sekarang, kami membutuhkannya $n-1$ dan $n+1$ untuk menjadi kekuatan yang sempurna $2$. Ini hanya bisa terjadi untuk$n=3$. Namun, meskipun demikian, kami hanya akan melakukannya$2^{2x}=8$ yang tidak mungkin sebagai $x$adalah bilangan bulat. Jadi, tidak ada solusi.
Kami akan melakukannya $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$, tidak mungkin seperti $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.