Nilai maksimum $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Dec 12 2020

Jadi saya menemukan pertanyaan di buku teks saya:

Dalam segitiga ABC, jika $A$,$B$,$C$ mewakili sudut, kemudian temukan nilai maksimum $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Jadi saya sudah mencoba dan yang terbaik dan mencurahkan darah, keringat dan air mata saya ke dalam pertanyaan ini .. Tapi saya tidak bisa menjawab lebih jauh!

Jadi, inilah pendekatan saya: Dengan Menggunakan $\sin(C)+\sin(D)$ dan $A+B+C= \pi$;

  1. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Sekarang, Menggunakan $\cos(2A)$ rumus yaitu, $1-2\sin^2(A) $
  2. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
  3. Jadi saya mendapat kuadrat dalam variabel $\sin(\frac{A+B}{4})$
  4. $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$

Tapi aku tidak tahu harus berbuat apa setelah itu

Dapatkah saya menyelesaikan pertanyaan ini menggunakan metode ini atau saya harus menggunakan pendekatan yang berbeda!

BTW, jawabannya 3/2

Sunting: Saya baru saja menyelesaikan sekolah menengah saya dan mempersiapkan ujian masuk IIT-JEE, Jadi tolong jangan gunakan istilah-istilah sulit untuk menyelesaikan pertanyaan ini.

Solusi ini dikirim oleh guru saya, setidaknya buat saya mengerti yang ini [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]

Jawaban

1 labbhattacharjee Dec 12 2020 at 01:19

Di mana Anda berhenti, biarkan $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$

$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$

Sebagai $\sin x$ nyata, diskriminan pasti ada $\ge0$

$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$

$\implies8z\le4+8$

Kesetaraan terjadi jika $\cos^2y=1\iff\sin y=0$

dan akibatnya $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$

4 J.G. Dec 12 2020 at 00:16

Sejak $\sin x$adalah cekung pada akut$x$, dengan ketidaksetaraan Jensen, nilai maksimum ditemukan pada$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, sebagai $3\sin\pi/6=3/2$.

Sunting: karena OP menyebutkan dalam komentar di jawaban @ B. Goddard bahwa mereka tahu diferensiasi, inilah bukti lain kasus sama sisi mencapai maksimum:

Terus menggunakan $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Untuk extemize$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ memecahkan secara bersamaan$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$yaitu $A=B=C$. Saya akan meninggalkan pembaca untuk memeriksanya maksimal dengan mempertimbangkan turunan kedua.

1 B.Goddard Dec 12 2020 at 00:23

Anda dapat melakukannya dengan pengganda Lagrange. Maksimalkan$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ di bawah kendala $g=x+y+z = \pi$.

Kemudian

$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$

Ini menunjukkan itu $x=y=z$ dan segitiga maksimal sama sisi.

ZAhmed Dec 12 2020 at 00:34

Dalam segitiga ABC, $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ Jadi dengan ketidaksetaraan Jemsen $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$