Panjang bilangan bulat dalam segitiga

Question

Jika $a,b,c$ adalah panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, di mana $a$ adalah sisi miringnya, maka mungkinkah itu $c$, $b$, $\sqrt{a^2-ac}$, $\sqrt{a^2-ab}$menjadi semua bilangan bulat? Saya mendapatkan ini dalam soal geometri lain, tetapi saya tidak tahu bagaimana melakukannya.

Answer 1

Sebagai $\sqrt{a^2-ac}$, $\sqrt{a^2-ab}$ adalah bilangan bulat, kami dapatkan $a(b-c)\in\mathbb Z\implies b=c$ atau $a\in\mathbb Z$. Jelas,$b\neq c$ dan dengan demikian, $a\in\mathbb Z$. Sebagai$\triangle ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan sisi bilangan bulat, kita dapatkan, $$a=m^2+n^2\qquad b=2mn\qquad c=m^2-n^2$$untuk beberapa $m,n\in\mathbb N$. Membiarkan,$$C:=a(a-c)=(m^2+n^2)(2n^2)\qquad B:=a(a-b)=(m^2+n^2)(m-n)^2$$Sekarang sebagai $a(a-c)$ dan $a(a-b)$ adalah kuadrat sempurna, kita harus memilikinya $2(m^2+n^2)$ dan $m^2+n^2$sebagai kuadrat sempurna yang tidak masuk akal. Dengan demikian, hipotesis asli salah.

Answer 2

KOMENTAR-Jika $a$ itu tidak rasional $a=a_1\sqrt n$ jadi kita punya $\sqrt{a^2-ac}=d\in\mathbb N\Rightarrow a^2-ac=d^2$ yang tidak mungkin $c$ bilangan bulat positif (hanya berlaku untuk $c=0$ begitu $c$tidak bisa menjadi sisi segitiga). Konsekuensinya Anda harus punya$(a,b,c)$ adalah segitiga Pythagoras.

Coba sekarang masalah dengan $a,b$ dan $c$ bilangan bulat.