Penerapan Induksi dalam menganalisis konvergensi suatu sekuens yang didefinisikan secara rekursif.
Membiarkan $\left\{a_{n}\right\}$ didefinisikan secara rekursif oleh $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}}, \quad n \geq 1 $$ Tentukan untuk yang mana $a_{1}$ urutannya menyatu dan jika terjadi konvergensi temukan batasnya.
Pendekatan saya: Perhatikan itu$$a_{n +1}=\frac{1}{4-3a_{n}}, \quad n\geq 1$$ jadi, pertama-tama saya ingin mencari $a_{n}$. Sekarang, saya mencoba menemukan pola tetapi saya tidak dapat menemukan \ begin {eqnarray *} n = 1 & \ implies & a_ {2} = \ frac {1} {4-3a_ {1}} = \ frac {(3 ^ {2-1} -1) - (3 ^ {2-1} -3) a_ {1}} {(2 ^ {2}) - (3 ^ {2} -6) a_ {1 }} \\ n = 2 & \ menyiratkan & a_ {3} = \ frac {1} {4-3a_ {2}} = \ frac {1} {4-3 \ kiri (\ frac {1} {4- 3a_ {1}} \ kanan)} = \ frac {4-3a_ {1}} {4 (4-3a_ {1}) - 3} \\ \ vdots & \ implies & \ vdots \\ \ end {eqnarray * } Jika saya tahu$a_{n}=a_{n}(a_{1})$, jadi saya bisa menganalisis penyebut untuk menyimpulkan kapan $a_{n}$ tak terdefinisi.
Bagaimana bisa menemukan $a_{n}$?
Saya juga tahu masalah ini terjawab di sini . Tapi saya pikir, kita dapat menemukan solusi dasar dengan menggunakan induksi$n$.
Jawaban
Jika urutannya menyatu $L$, mengambil batas di kedua sisi pengulangan menunjukkan itu
$$L=\frac1{4-3L}\,,$$
atau $3L^2-4L+1=0$. Faktor kuadrat dengan baik:$(3L-1)(L-1)=0$, jadi satu-satunya batasan yang mungkin adalah $L=\frac13$ dan $L=1$.
Jelas urutannya tidak terdefinisi jika $a_1=\frac43$ dan konstan jika $a_1=\frac13$ atau $a_1=1$.
- Jika $a_k<1$, kemudian $1<4-3a_k$, dan $0<a_{k+1}<1$.
- Jika $a_k>\frac43$, kemudian $a_{k+1}<0$, jadi $0<a_{k+2}<1$.
- Jika $1<a_k<\frac43$, biarkan $r=a_k-1$; kemudian$0<3r<1$, jadi $$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{1-3r}=\sum_{n\ge 0}(3r)^n>1+3r>a_k\,.$$ Urutan tidak boleh dibatasi $\left(1,\frac43\right]$, jadi entah itu hits $\frac43$ dan mati, atau $a_\ell>\frac43$ untuk beberapa $\ell>k$, lalu $a_n\in(0,1)$ untuk semua $n\ge\ell+2$.
Jadi, jika $a_1$ benar-benar menghasilkan urutan tak terbatas, tidak konstan, urutan itu berakhir $(0,1)$. Apa yang terjadi disana?
- Jika $\frac13<a_k<1$, biarkan $r=a_k-\frac13$. Kemudian$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1-r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}r^n\,,$$ begitu $$a_{k+1}-\frac13=\frac13\sum_{n\ge 1}r^n=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}r^n=ra_{k+1}<r=a_k-\frac13\,,$$ dan $a_{k+1}<a_k$. Dalam hal ini urutan harus menyatu$\frac13$.
- Jika $0<a_k<\frac13$, biarkan $r=\frac13-a_k$. Kemudian$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1+r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n\,,$$ begitu $$\begin{align*}\frac13-a_{k+1}&=\frac13-\left(\frac13+\frac13\sum_{n\ge 1}(-1)^nr^n\right)=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^{n+1}\\&=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n=ra_{k+1}<r=\frac13-a_k\,,\end{align*}$$ dan $a_{k+1}>a_k$. Sekali lagi urutannya menyatu$\frac13$.
Kami sekarang telah menunjukkan itu $a_1=1$ menghasilkan urutan konstan $a_k=1$ untuk semua $k\ge 1$, dan setiap nilai awal lainnya menghasilkan salah satu urutan yang menyatu $\frac13$ atau salah satu yang akhirnya mati karena beberapa $a_k=\frac43$. Tinggal menentukan nilai awal yang mana$a_k=\frac43$.
Memecahkan $y=\frac1{4-3x}$ untuk $x$, kami menemukan itu $x=\frac{4y-1}{3y}=\frac43-\frac1{3y}$. Membiarkan$b_1=\frac43$, dan untuk $k\ge 1$ membiarkan $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. Mudah untuk ditampilkan dengan induksi$k$ bahwa $a_k=\frac43$ jika dan hanya jika $a_1=b_k$, jadi $\{b_k:k\ge 1\}$ adalah himpunan nilai awal yang tidak menghasilkan urutan konvergen, dan hanya tinggal mencari bentuk tertutup untuk bilangan tersebut $b_k$.
Jika kita menulis $b_k$ sebagai pecahan $\frac{c_k}{d_k}$, kemudian
$$b_{k+1}=\frac{\frac{4c_k}{d_k}-1}{\frac{3c_k}{d_k}}=\frac{4c_k-d_k}{3c_k}\,,$$
begitu $c_{k+1}=4c_k-d_k$, dan $d_{k+1}=3c_k$, dengan kondisi awal $c_1=4$ dan $d_1=3$. Kemudian$c_{k+1}-d_{k+1}=c_k-d_k$, jadi dengan induksi $c_k-d_k=c_1-d_1=1$ untuk semua $k\ge 1$. Ini mengikuti itu$c_{k+1}=d_{k+1}+1=3c_k+1$. Memecahkan kekambuhan$c_{k+1}=3c_k+1$ dengan nilai awal $c_1=4$ dengan metode standar apa pun, kami menemukannya
$$c_k=\frac{3^{k+1}-1}2$$
dan karenanya
$$d_k=\frac{3^{k+1}-3}2\,,$$
maka
$$b_k=\frac{3^{k+1}-1}{3^{k+1}-3}\,.$$
Pembaruan: Terima kasih Brian M. Scott atas wawasan Anda.
Saya akan menambahkan kasus di mana beberapa $a_k=\frac 43$. Menurut Brian, kita harus menyelesaikan urutannya$b_k$ seperti yang $b_1=\frac 43$, $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$. Ini dapat diselesaikan dengan cara yang sama, tetapi lebih mudah karena$b_1$ diberikan.
Catat itu $$ b_{k+1} - 1 = \frac{b_k-1}{3b_k}$$$$ b_{k+1} - \frac 13 = \frac{b_k-\frac{1}{3}}{b_k}\tag 1 $$
Dari $(1)$ kami menyimpulkan $b_k>\frac 13, \forall k$ melalui induksi.
Kemudian $\frac{b_{k+1}-1}{b_{k+1}-\frac 13} = \frac{1}{3} \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} \implies \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} = \frac{1}{3^{k-1}} \left( \frac{b_1 - 1}{b_1 - \frac 13}\right) = \frac{1}{3^k}$
Karena itu $b_k = \frac{1 - \frac{1}{3^{k+1}}}{1-\frac{1}{3^l}} = \frac{3^{k+1} -1}{3^{k+1}-3}$ yang sama dengan hasil Brian.
Jawaban asli:
Sejak $1$ dan $\frac 13$ adalah akar dari persamaan karakteristik $x=\frac{1}{4-3x}$, kita punya
$$a_{n+1}-1 = \frac{3(a_n-1)}{4-3a_n}$$
$$a_{n+1}-\frac 13 = \frac{a_n-\frac 13}{4-3a_n}$$
Jadi jika tidak $a_n = \frac 13$ kamu punya
$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-\frac 13} = 3 \frac{a_n-1}{a_n-\frac 13} = 3^n \frac{a_1-1}{a_1-\frac 13}$$
Tentu Anda perlu mengurus kasus di mana $a_1=\frac 13$.
Tentukan fungsinya $$ f(a)=\frac1{4-3a}\tag1 $$ Catat itu $$ \begin{align} f(a)-a &=\frac{(3a-1)(a-1)}{4-3a}\tag{2a}\\ &\left\{\begin{array}{} \lt0&\text{if }a\in\left(\frac13,1\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)\\ \gt0&\text{if }a\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup\left(1,\frac43\right) \end{array}\tag{2b} \right. \end{align} $$ Pertimbangkan dua urutan untuk $n\in\mathbb{Z}$, $$ \begin{align} p_n &=\frac{3^{n-1}+1}{3^n+1}\tag{3a}\\ &=\frac13\left(1+\frac2{3^n+1}\right)\tag{3b} \end{align} $$ dan $$ \begin{align} q_n &=\frac{3^{n-1}-1}{3^n-1}\tag{4a}\\ &=\frac13\left(1-\frac2{3^n-1}\right)\tag{4b} \end{align} $$ dimana $q_0=\pm\infty$.
Catat itu $$ \begin{align} f(p_n)&=p_{n+1}\tag{5a}\\ f(q_n)&=q_{n+1}\tag{5b} \end{align} $$ di mana, dalam kasus $q_0$, $$ \begin{align} f(q_{-1})&=f\!\left(\tfrac43\right)=\infty=q_0\tag{6a}\\ f(q_0)&=f(\infty)=0=q_1\tag{6b} \end{align} $$ Tentukan intervalnya $$ \begin{align} P_n&=(p_{n+1},p_n)\tag{7a}\\ Q_n&=(q_n,q_{n+1})\tag{7b} \end{align} $$ dimana $Q_{-1}=\left(\frac43,\infty\right)$ dan $Q_0=\left(-\infty,0\right)$:
Pada animasi di atas, garis merah dan hijau solid adalah $P_n$ dan $Q_n$. Panah menunjuk ke interval bertitik$P_{n+1}$ dan $Q_{n+1}$. Intervalnya berwarna merah jika$f(a)\lt a$ pada interval itu dan hijau jika $f(a)\gt a$; interval ini dijelaskan dalam$(2)$.
Sejak $f'(a)\gt0$ kecuali di $q_{-1}=\frac43$ (yang di antara $Q_{-2 }$ dan $Q_{-1}$), kami memiliki bias $$ \begin{align} f&:P_n\to P_{n+1}\tag{8a}\\ f&:Q_n\to Q_{n+1}\tag{8b} \end{align} $$ Sejak $$ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}P_n\cup\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}Q_n\cup\left\{p_n:n\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{q_n:n\in\mathbb{Z}^{\ne0}\right\}=\mathbb{R}\tag9 $$ $(5)$ dan $(8)$ tunjukkan bahwa untuk semua poin kecuali $\left\{q_n:n\le0\right\}\cup\{1\}$, berulang $f$ akan menghasilkan urutan konvergen $\frac13$ (bahkan bisa dikatakan begitu $q_{-\infty}=1$).
Petunjuk: Jika $a_1<1$, mudah dilihat $a_n<1$ dan kemudian biarkan $b_n=a_n-\frac13$. Jika$a_1\in(1,\frac43)$, mudah dilihat $a_n\in(1,\frac43)$ dan kemudian biarkan $b_n=a_n-1$. Anda bisa melakukan sisanya.
Tanpa induksi .
Jika Anda mengikuti langkah-langkah yang dijelaskan di sini yang saya gunakan untuk menjawab pertanyaan ini, maka membuat cerita menjadi pendek$$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \qquad \text{with} \qquad a_1=c$$ $$a_n=\frac 13\frac{c \left(3^n-9\right)-(3^n-3) } {c(3^n-3)-(3^n-1) }$$
Sekarang, Anda perlu mempertimbangkan berbagai kasus untuk sampai ke hasil bagus dari analisis bagus @Brian M. Scott.