Pengertian Volume Sistem Dinamika
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemmenjelaskan bahwa volume ruang keadaan atau ruang fase adalah invarian. Catatan kuliah berjudul "11 Penarik Aneh dan Lyapunov Redup". diambil dari buku Strogatz menunjukkan pada persamaan (2) transformasi koordinat volume. Saya ingin memahami jika bukti yang ditunjukkan dalam catatan berarti bahwa volume sistem dengan atraktor aneh tidak berubah di bawah beberapa jenis transformasi seperti transformasi koordinat. Dengan transformasi koordinat, kita dapat menghasilkan rekonstruksi ruang fase dan menggunakan itu kita bisa mendapatkan sebuah penarik aneh . Setelah pilihan yang tepat dari pengaturan parameter untuk sistem dinamis yang kacau, kita dapat melihat yang aneh. Tetapi saya tidak dapat memahami buktinya.
Pertanyaan: Adakah yang bisa menunjukkan bagaimana membuktikan bahwa volume untuk sistem yang memiliki atraktor aneh tidak berubah menjadi transformasi dan apa artinya ini.
Apakah volume penarik aneh menyusut atau membesar?
UPDATE: 18 Agustus
Berdasarkan diskusi di bawah komentar, inilah yang bisa saya tulis dari apa pun yang bisa saya pahami. Kami menghargai bantuan dalam menyelesaikan penulisan bukti dengan cara yang elegan.
Bukti: volume atraktor aneh yang ditunjukkan oleh sistem dalam dinamika chaos tidak berubah dalam beberapa transformasi dan merupakan ukuran atau metrik.
Ide saya adalah, biarkan $n_a$ menjadi dimensi penarik dan $d$ menjadi dimensi embedding dan penarik memiliki volume $v$ dengan dimensi penarik $n_a$. Jika deret waktu bernilai skalar tersedia, maka kita dapat merekonstruksi penariknya$d$ ruang fase dimensi dengan metode embedding penundaan Takens, $d \ge 2n+1$ dimana $n$adalah dimensi dari sistem yang diamati. Kami tidak memiliki pengetahuan tentang nilai sebenarnya dari$n_a$. Karena, untuk volume sistem disipatif$v \le 0$, jika dan hanya jika $n \le n_a$, dan sama dengan nol karena dimensinya kurang dari $n_a$. Oleh karena itu, setiap sistem disipatif mempertahankan volume penarik, yaitu nol. Sedangkan untuk perubahan koordinat, karena atraktor adalah ukuran nol set, gambar dari atraktor di bawah peta halus juga akan diukur nol.
Sekarang bagaimana saya membuktikan bahwa penarik adalah ukuran yang ditetapkan nol dan merupakan metrik seperti ukuran Lebesgue? Adakah yang bisa membantu secara resmi menulis bukti ini? Terima kasih.
Jawaban
Ketika mereka mengatakan volume, yang mereka maksud adalah `ukuran. ' Ukuran pada suatu ruang$X$ adalah sebuah fungsi $\mu$ yang menetapkan panjang (atau area, atau volume, atau probabilitas - ruang spesifik $X$ atau konteksnya biasanya menentukan bagaimana Anda memikirkan apa ukuran itu, yah, mengukur) untuk subjek yang "bagus" $X,$ di mana "bagus" berarti sebelumnya seseorang memilih beberapa himpunan bagian dari $X$yang bisa kita ukur. Ini disebut himpunan terukur.
Sebuah peta $T : X\rightarrow X$ dikatakan $\mu$-invariant if (a) when $S$ dapat diukur, begitu juga $T^{-1}(S)$, dan B) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ kapanpun $S$ dapat diukur.
Mengenai cara memeriksanya, ini sangat tergantung pada detailnya. Salah satu trik yang sangat umum dan membantu adalah Anda tidak perlu memeriksa bahwa kondisi (a) atau (b) berlaku untuk setiap subset yang dapat diukur - jika Anda mencentang (a) dan (b) pada keluarga set yang `menghasilkan ' koleksi set yang dapat diukur, maka Anda dapat menyimpulkannya ada di mana-mana. Misalnya, jika space Anda adalah$X = [0, 1]$ dengan "ukuran Lebesgue" biasa menetapkan subset dari $X$ panjangnya, cukup untuk memeriksanya $T$ mempertahankan ukuran interval.
Beberapa hal:
- Perhatikan catatan di bawah persamaan 2:
Sistem pembuangan memiliki penarik, sedangkan sistem pengawetan volume tidak dapat memiliki penarik atau penolak.
Ini benar dalam arti di mana "volume" berarti ukuran Lebesgue, yaitu definisi normal dari volume pada $\mathbb{R}^n$. Penarik harus berdimensi lebih rendah dari ruang fase itu sendiri, sehingga volumenya (dalam pengertian Lebesgue) harus 0; misalnya, volume permukaan dalam$\mathbb{R}^3$adalah 0 karena permukaannya 2 dimensi. Mungkin pengawetan volume ini sepele karena penarik harus memiliki volume Lebesgue nol.
Jadi ini sepertinya menjawab pertanyaan Anda secara langsung. Namun, dinamika pada penarik aneh biasanya bersifat ergodik , yang merupakan bagian yang Anda baca di artikel Wikipedia pertama. Dinamika ergodik biasanya memiliki sesuatu yang disebut ukuran invarian , yang berarti ada beberapa pengertian volume (ukuran) yang dipertahankan oleh dinamika (invarian). Oleh karena itu, jika seseorang dapat mengatur parameternya, yaitu, temukan perubahan koordinat dari$\mathbb{R}^n$ untuk penarik, maka "volume" dalam arti ukuran invarian dari penarik dan dinamika memang akan dipertahankan.