Penghitungan himpunan $t$ seperti yang $E-tB$ tidak suntik
Pertimbangkan ruang Hilbert yang dapat dipisahkan $\mathcal H$ dan dua operator kontinu adjoint mandiri yang ringkas $E,B:\mathcal H \to \mathcal H$. $E$ bersifat suntik.
Sekarang pertimbangkan set $$\tau = \{t\in [0,1]: E-tB\;\; \mathrm{is}\;\mathrm{NOT}\; \mathrm{injective} \}\,.$$
Saya pikir itu kardinalitas $\tau$ paling bisa dihitung.
Jelas semuanya jika mudah jika $E$ dan $B$berbagi dasar fungsi eigen. Memang, sejak untuk semua$t$ $E-tB$ kompak dan self-adjoint, kita bisa menulis $$E-tB = \sum_{n=0}^\infty (\lambda_n - t\mu_n)P_n$$ dimana $P_n$ adalah proyektor di ruang angkasa dan $\lambda_n$ dan $\mu_n$ nilai eigen $E$ dan $B$masing-masing. Jadi dalam kasus ini$$\tau = \{t\in [0,1]: \lambda_n = t \mu_n\;\;\mathrm{for}\;\mathrm{some}\;n\}\,,$$ yang dapat dihitung dengan jelas.
Tetapi bagaimana menangani kasus umum? Properti apakah masih berlaku?
Jawaban
Berikut adalah sebagian jawaban dalam kasus khusus itu $E\geq 0$.
Diasumsikan dengan kontradiksi itu $\{t_i\}_{i\in I}$ adalah bagian yang tak terhitung dari $[0,1]$ seperti yang $E-t_iB$ tidak suntik untuk semua $i$, dan pilih vektor bukan nol $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ seperti yang $E(x_i)=t_iB(x_i)$, untuk semua $i$.
Jika $t_i\neq t_j$ perhatikan itu $$ t_i\langle B(x_i),x_j\rangle = \langle E(x_i),x_j\rangle = \langle x_i,E(x_j)\rangle = \langle x_i,t_jB(x_j)\rangle = t_j\langle B(x_i),x_j\rangle , $$ begitu $\langle B(x_i),x_j\rangle =0$, dan akibatnya juga $\langle E(x_i),x_j\rangle =0$. Menggunakan itu$E$ adalah positif kami dapat menulis $E=E^{1/2}E^{1/2}$, jadi $$ 0=\langle E(x_i),x_j\rangle = \langle E^{1/2}(x_i),E^{1/2}(x_j)\rangle , $$ dan mengikuti itu $\{E^{1/2}(x_i)\}_{i\in I}$ adalah keluarga tak terhitung dari vektor ortogonal berpasangan di $H$, sebuah kontradiksi.
EDIT (1): Ini adalah fakta menarik lainnya. Jika jawaban atas pertanyaan awal adalah afirmatif, maka jawaban tersebut juga afirmatif tanpa hipotesis itu$B$ dan $E$ adalah self-adjoint.
Inilah alasannya: anggaplah bahwa operator compact (mungkin non-selfadjoint) $B$ dan $E$, dengan $E$ suntik, menghasilkan contoh-balasan, yaitu, seseorang dapat menemukan subset yang tak terhitung $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ dan keluarga yang sesuai $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ vektor bukan nol sedemikian rupa $E(x_i)=t_iB(x_i)$, untuk semua $i$.
Pertimbangkan operatornya $\tilde B$ dan $\tilde E$, bertindak $H\oplus H$, didefinisikan sebagai berikut: $$ \tilde B = \pmatrix{0 & B^*\cr B & 0}, \qquad \tilde E = \pmatrix{0 & E^*\cr E & I}, $$ dimana $I$ menunjukkan operator identitas pada $H$. Pertimbangkan juga vektornya$\tilde x_i\in H\oplus H$ diberikan oleh $\tilde x_i = \pmatrix{x_i\cr 0}$.
Perhitungan yang mudah menunjukkan hal itu $\tilde E(\tilde x_i)=t_i\tilde B(\tilde x_i)$, jadi $\tilde E-t_i\tilde B$tidak suntik. Ternyata keduanya$\tilde B$ dan $\tilde E$ kompak dan self-adjoint, dan selanjutnya kami akan menunjukkannya $\tilde E$bersifat suntik. Untuk ini anggap saja$\pmatrix{x\cr y}$ terletak di ruang kosong $\tilde E$. Karena itu mengikuti itu$E^*(y) = 0$ dan $E(x)+y=0$. Menerapkan$E^*$ untuk identitas terakhir memberi $$ 0 = E^*E(x)+E^*y=E^*E(x), $$ karenanya $$ 0 = \langle E^*E(x), x\rangle = \langle E(x), E(x)\rangle = \Vert E(x)\Vert ^2, $$ menuju ke $E(x)=0$, dan juga $x=0$, karena $E$bersifat suntik. Memasukkan ini ke$E(x)+y=0$, akhirnya memberi $y=0$, demikian juga.
Karena itu pasangannya $(\tilde B, \tilde E)$memberikan contoh tandingan untuk pertanyaan awal yang kami asumsikan memiliki jawaban positif. Dengan demikian kami sampai pada kontradiksi, karenanya membuktikan pernyataan itu.
EDIT (2): Hipotesis kekompakan juga bisa dihilangkan !! Inilah alasannya: anggaplah bahwa operator terikat (kemungkinan tidak kompak)$B$ dan $E$, dengan $E$ suntik, menghasilkan contoh-balasan, yaitu, seseorang dapat menemukan subset yang tak terhitung $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ seperti yang $E-t_iB$ tidak suntik untuk semua $i$.
Setiap ruang Hilbert yang dapat dipisahkan memiliki operator yang kompak (misalnya operator diagonal dengan entri diagonal $1,1/2,1/3,\ldots $ di $l^2$) jadi biarkan $K$ jadilah operator seperti itu $H$. Lalu jelas$KE$ adalah suntik tapi $$ KE-t_iKB = K(E-t_iB) $$tidak. Demikian pasangan operator kompak$(KB, KE)$ memberikan counter-example seperti pada EDIT (1) yang selanjutnya dapat dijadikan counter-example untuk pertanyaan awal.
EDIT (3): Dalam posting ini orang akan menemukan contoh kontra untuk situasi di EDIT (2) jadi pertanyaannya akhirnya diselesaikan di NEGATIF !!
Untuk lebih spesifik, $E$ dianggap sebagai operator identitas dan $B$ pergeseran ke belakang (ingat untuk itu $t$ bukan nol yang memiliki itu $E-tB$ adalah injeksi iff $t^{-1}E-B$ adalah).