Penjelasan bukti Shakarchi tentang 1.3.4 dalam Analisis Sarjana Lang

Question

Saat ini saya sedang mengerjakan Analisis Sarjana Lang, dan mencoba memahami bukti Rami Shakarchi tentang hal-hal berikut:

Membiarkan $a$ menjadi bilangan bulat positif seperti itu $\sqrt a$tidak rasional. Membiarkan$\alpha = \sqrt a$. Tunjukkan bahwa ada nomor$c > 0$ sedemikian rupa sehingga untuk semua bilangan bulat $p, q$, dengan $q > 0$ kita punya $\mid q \alpha - p \mid > c/q$.

Saya menambahkan tangkapan layar bukti Shakarchi di bawah ini:

Pemahaman saya tentang bukti ini adalah sebagai berikut:

Saran yang diberikan Lang adalah merasionalisasi $q \alpha - p$, yaitu mengambil produk $(q\alpha - p)(-q\alpha - p)$. Melakukannya akan menghasilkan

$(q\alpha - p)(-q\alpha - p) = -q^2 a + p^2$

Penarikan $q, a, p \in \mathbb{Z}$, dengan $q > 0$ dan juga $\sqrt a \notin \mathbb{Q}$, khususnya $a \neq 0$. Kemudian$\mid(q\alpha - p)(-q\alpha - p)\mid \geq 1 \leftrightarrow \mid q\alpha - p\mid \geq \frac{1}{\mid -q\alpha - p\mid} = \frac{1}{\mid q\alpha + p\mid}$

Di mana saya agak jatuh adalah di bagian selanjutnya - kita pilih $c$ seperti yang $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$. Saya kira kita memilih$c$ cara ini untuk menangani kasus dimana $\mid \alpha \mid < 1$ yang seperti itu $\frac{1}{3\mid\alpha\mid} > 1$. Jika itu masalahnya, maka kita benar-benar dapat memilih kelipatan positif dari$\mid \alpha \mid$ di demoninator, yaitu $\frac{1}{2\mid\alpha\mid}$ atau $\frac{1}{4\mid\alpha\mid}$ akan bekerja dengan baik.

Sekarang, menggunakan hasil yang diperoleh di $\textbf{1}$ dan hipotesis kami, kami menetapkan ketidaksetaraan di $\textbf{2}$. Saya bingung bagaimana ketimpangan paling kiri diperoleh - saya tahu itu melalui hipotesis$\mid \alpha - p/q \mid < \mid \alpha\mid$ dan kami menambahkan $\mid 2\alpha \mid$ ke kedua sisi untuk mendapatkan ketimpangan paling kanan.

Kemudian pada ketidaksetaraan terakhir, tidak jelas bagi saya bagaimana kita mengetahuinya $\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$.

Saya mencari jawaban untuk dua poin ini:

1. Penjelasan untuk langkah-langkah yang saya uraikan di atas sebagai tidak jelas, yaitu pilihan $c$ (mengapa kita memilih $0 < c < \text{min}(\mid\alpha\mid, \mid\frac{1}{3\mid\alpha\mid})$), ketimpangan paling kiri dalam $\textbf{2}$, dan ketimpangan di tengah $\textbf{3}$.
2. Bukti ini cukup tidak intuitif bagi saya - saya bahkan tidak mempertimbangkan untuk merasionalisasi $q \alpha - p$ketika saya pertama kali mengerjakan masalah ini. Saya membayangkan hal semacam itu yang Anda mulai menjadi lebih baik dalam melihat dengan latihan mengerjakan masalah seperti ini. Namun, apakah mungkin ada bukti yang lebih sederhana atau lebih langsung?

Answer 1

Itu adalah ketidaksamaan segitiga

$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - \alpha +\frac pq| \le |2\alpha| + |-\alpha + \frac pq|=|2\alpha| + |\alpha -\frac qp| < |2\alpha| + |\alpha|=3|\alpha|$

Alasannya $3$ dipilih karena: Kita perlu mendapatkan $|\alpha -\frac pq|$lebih besar dari sesuatu. Tapi jika$|\alpha-\frac pq|< |\alpha|$ kita tidak bisa mendapatkannya secara langsung karena kita hanya tahu $|\alpha-\frac pq|$lebih kecil dari sesuatu. Sebaliknya kita harus bekerja sama$|\alpha + \frac pq|$menjadi lebih besar dari sesuatu. Tapi bagaimana kita bisa pindah agama$|\alpha + \frac pq|$ untuk sesuatu yang melibatkan $|\alpha -\frac pq|$? Nah, cara mereka melakukannya$|\alpha + \frac pq| = |2\alpha - (\alpha - \frac pq)|$. Tapi itu membuang dua ekstra$\alpha$sedang dalam pengerjaan.

"Tidak jelas bagiku bagaimana kita tahu itu$\frac{1}{3\mid \alpha \mid q} < \frac{1}{\mid q\alpha + p \mid}$"

Nah, sudah $|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|$

Begitu $q|\alpha + \frac pq| < 3|\alpha|q$

$0< |q\alpha + p| < 3|\alpha|q$

$\frac 1{3|\alpha| q} < \frac 1{|q\alpha + p|}$.

Answer 2

Ketimpangan paling kiri di 2 membuat saya sedikit memikirkannya juga :)

Ini segitiga pertidaksamaan:

$$|a|+|b| \geq |a+b| \,.$$

Pertidaksamaan menengah di 3 hanyalah ketimpangan keseluruhan dari 2 .

Pilihan $c$ mungkin lebih fleksibel, tetapi saya pikir menggunakan 3 hanya membuat semua hal di atas membatalkan dan bekerja lebih baik.