Perbedaan antara hasilkali dalam ruang ganda dan hasilkali dalam yang merepresentasikan kesatuan
Setiap ruang vektor $|\vec{v}\rangle$ di atas lapangan $\mathbb{R}$ atau $\mathbb{C}$ mengandung ruang ganda, sehingga jika kita melakukan identifikasi antara elemen dalam ruang ganda dan ruang vektor asli, tampaknya setiap ruang vektor secara alami dilengkapi dengan hasil kali dalam, yang disebut hasil kali dalam ruang ganda.
Misalnya dalam teori medan kuantum kami memiliki representasi dari grup Poincare di mana ruang vektor kami dapat dilambangkan sebagai $|p^{\mu},\sigma\rangle$ dimana $\sigma$menunjukkan indeks kelompok kecil. Tanpa asumsi fisik apa pun, kita dapat mengatakan bahwa terdapat ruang ganda pada ruang ini, dan hal ini menimbulkan perkalian dalam pada ruang vektor asli kita.$\langle p,\sigma|p',\sigma'\rangle=\delta(p-p')\delta_{\sigma\sigma'}$. Sekarang ini adalah produk dalam tetapi belum tentu produk dalam yang merepresentasikan kelompok Poincare adalah kesatuan.
Pertanyaan : Apakah saya benar mengatakan bahwa untuk status multipartikel, hasil kali dalam spasi ganda adalah \ begin {persamaan} \ langle \ lbrace p, \ sigma \ rbrace | \ lbrace p ', \ sigma' \ rbrace \ rangle = \ sum _ {\ teks {semua kemungkinan pasangan status prima dengan status tanpa prima}} \, \, \, \, \ prod _ {\ text {pasangan}} \ delta (p_i-p_ {i ^ {'}}') \ delta _ {\ sigma_i \ sigma_ {i '}'} \ end {persamaan} sedangkan ada produk dalam lain yang berbeda yang diberikan oleh amplitudo: \ begin {persamaan} \ langle \ lbrace p, \ sigma \ rbrace | \ lbrace p ', \ sigma '\ rbrace \ rangle = \ delta (\ sum p - \ sum p') \ mathcal {M} (\ lbrace p, \ sigma \ rbrace, \ lbrace p ', \ sigma' \ rbrace) \ end {persamaan}Kami ingin representasi grup Poincare menjadi kesatuan terhadap kedua produk dalam. TLDR: Apakah produk dalam ruang ganda dan produk dalam yang kita ingin representasi kita menjadi kesatuan yang berbeda?
Jawaban
Membuat identifikasi antara ruang ganda dan ruang asli sepenuhnya sama dengan memilih produk dalam. Ada banyak cara untuk mengidentifikasi$V$ dengan $V^*$, jadi ada banyak kemungkinan produk dalam yang tak terhingga.
Anda mungkin berpikir begitu, diberi dasar ${\bf e}_a$ untuk $V$ dan basis ganda ${\bf e}^{*a}$untuk $V^*$ seperti yang ${\bf e}^{*a}({\bf e}_b)=\delta^a_b$, Anda dapat mengidentifikasi secara alami ${\bf e}_a$ dengan ${\bf e}^{*a}$. Anda dapat melakukan ini tentu saja, tetapi ada banyak pilihan dasar yang tak terhingga, dan masing-masing memberikan identifikasi yang berbeda dan produk dalam yang berbeda. Dalam mekanika kuantum, kami membuat pilihan produk dalam dengan pilihan peta belati antilinear$\dagger :V\to V^*$ di mana $\dagger: |n\rangle \mapsto (|n\rangle)^\dagger =\langle n|$. Dengan memilih untuk mengidentifikasi "$|p\rangle$"(momentum) dasar dengan gandanya, resep Anda membuat pilihan produk dalam tertentu.
Saya pikir daripada berbicara tentang hasil kali dalam ruang ganda , Anda harus berbicara tentang hasil kali dalam basis ganda .
Anda bisa memeriksanya \begin{align} \hat {\cal L}_z= -i\frac{d}{d\varphi}\, ,\quad \hat {\cal L}_+= -e^{i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}+i\frac{d}{d\varphi}\right)\, ,\quad \hat {\cal L}_-= -e^{-i\varphi}\left(\lambda\mathbb{I}-i\frac{d}{d\varphi}\right)\, . \tag{1} \end{align} memenuhi hubungan pergantian yang sama seperti $\hat L_z, \hat L_\pm$. Asumsikan operator dalam (1) bertindak atas fungsi formulir$f_m(\varphi)=e^{i m\varphi}/\sqrt{2\pi}$.
Produk batin yang "alami '' adalah $\langle{m}\vert{m'}\rangle= \int d\varphi \, e^{-i m\varphi}e^{i m'\varphi}/(2\pi)$ tetapi jika Anda menggunakan ini, Anda akan menemukan bahwa representasi matriks $\hat {\cal L}_x$ dan $\hat{\cal L}_y$ bertindak atas negara bagian $f_{m}(\varphi)$ bukan matriks hermitian, jadi tidak eksponensial menjadi representasi kesatuan.
Dengan kata lain, tidak ada alasan untuk percaya bahwa "produk dalam" alami untuk negara akan menghasilkan representasi kesatuan.
Tidak sulit untuk merasa tidak nyaman dengan (1) karena representasi "biasa" oleh operator diferensial bertindak bukan pada 1-torus tetapi pada $S^2/U(1)$(harmonik bola); aneh rasanya memiliki semacam representasi berbasis koordinat$SU(2)$ tergantung hanya pada satu sudut.
Dalam kasus kelompok kompak (seperti $SU(2)$di atas), yang dapat Anda katakan adalah bahwa representasi matriks (1) ekuivalen (dengan transformasi kesamaan) menjadi satu kesatuan. Ada cara sistematis untuk menemukan transformasi kesamaan. Dalam kasus kelompok non-kompak, lebih sulit untuk menetapkan kesetaraan seperti itu.
Saya pikir contoh berikut menunjukkan bahwa saya benar bahwa hasil kali dalam yang merepresentasikan suatu grup harus menjadi kesatuan tidak harus bertepatan dengan produk dalam ruang ganda, tetapi saya masih menghargai umpan balik.
Pertimbangkan $(\frac{1}{2},0)$ perwakilan dari $SL(2,\mathbb{C})$. Ini bekerja pada ruang vektor kompleks dua dimensi$\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}$. Sekarang ruang vektor ini secara alami dipasangkan dengan ruang ganda$(a^{\star},b^{\star})$dan karenanya kita memiliki hasil kali dalam pada ruang vektor asli kita sebagai \ begin {persamaan} \ bigg (\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} c \\ d \ end {pmatrix} \ bigg) _ {\ text {Dual space inner product}} = ac ^ {\ star} + bd ^ {\ star} \ end {persamaan} Sekarang representasi tidak merupakan kesatuan sehubungan dengan hasil kali dalam ini, karena misalnya dalam beberapa konvensi bahwa elemen Aljabar Kebohongan terkait dengan pemacu adalah non-Hermitian. Namun demikian, terdapat hasil kali dalam pada ruang vektor ini yang merupakan kesatuan, yaitu determinan dari dua vektor \ begin {persamaan} \ bigg (\ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix } c \\ d \ end {pmatrix} \ bigg) _ {\ text {Determinant inner product}} = ad ^ {\ star} -bc ^ {\ star} \ end {persamaan} Jadi, hasil kali dalam yang menjadi representasi adalah kesatuan tidak perlu bertepatan dengan produk dalam ruang ganda.
Sunting 1: Mengingat tanggapan Mike Stones, orang dapat mengoreksi apa yang saya katakan sebagai berikut. Seseorang dapat melihat hasil kali dalam determinan sebagai hasil kali dalam spasi ganda jika seseorang memilih asosiasi antara ruang vektor dan spasi ganda menjadi: \ begin {persamaan} \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix} \ rightarrow \ bigg (b ^ {\ star}, - a ^ {\ star} \ bigg) \ end {persamaan}